Fonction point d'interrogation

Fonction point d'interrogation
Fonction point d'interrogation de Minkowski.

La fonction point d'interrogation est, en mathématiques, une fonction, notée ?\left(x\right).

Cette fonction fut définie par Hermann Minkowski en 1904[1] afin de créer une application continue de l'ensemble des nombres irrationnels quadratiques de l'intervalle \left]0,1\right[ vers l'ensemble des nombres rationnels dyadiques du même intervalle. La définition courante actuelle fut posée par Arnaud Denjoy en 1938[2].

Sommaire

Définition

Soit x un nombre réel et [x_0; x_1, x_2, \ldots] sa représentation en fraction continue. On pose :

{\rm ?}(x) = x_0 + \sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}} {2^{x_1 + \cdots + x_k-1}}

Cette définition est légitime. Dans le cas d'un nombre irrationnel, la série converge toujours. Dans le cas d'un nombre rationnel, sa fraction continuée se limite à [x_0; x_1, x_2, \ldots, x_n] et deux termes successifs de la série pour k\ge n s'annulent ; il est alors possible d'écrire :

{\rm ?}(x) = x_0 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac {(-1)^{k+1}} {2^{x_1 + \cdots + x_k-1}}

Exemples

  • ?\left(0\right) = 0
  • \frac {1} {3} = \left[0;1,0,1\right] : ?\left(\frac {1} {3}\right) = \frac {1} {4}
  • \frac {177} {233} = \left[0;1,3,6,4,2\right] : ?\left(\frac {177} {233}\right) = \frac {7193} {8192}
  • ?\left(1\right) = 1
  • \sqrt{2} = \left[1;2,2,\ldots\right] : ?\left(\sqrt{2}\right) = \frac {7} {5}

Propriétés

  • La fonction point d'interrogation est strictement croissante.
  • Elle est purement singulière (en)[3].
  • ?\left(x+1\right) = ?\left(x\right)+1
  • Si x est un nombre rationnel, ?\left(x\right) est un nombre rationnel dyadique.
  • Si x est un nombre irrationnel quadratique, sa fraction continuée est périodique et ?\left(x\right) est un rationnel non-dyadique.
  • Si \frac {p} {q} et \frac {p'} {q'} sont deux fractions irréductibles telles que \left|pq'-p'q\right|=1 (deux éléments successifs d'une suite de Farey), ?\left(\frac {p+p'} {q+q'}\right) = \frac {1} {2} \left(?\left(\frac{p}{q}\right) + ?\left(\frac{p'}{q'}\right) \right)
  • La fonction point d'interrogation est un cas particulier des courbes fractales de Rham (en).

Notes et références

Notes

  1. ↑ (de) H. Minkowski, Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg (1904), Berlin
  2. ↑ A. Denjoy, Sur une fonction réelle de Minkowski, J. Math. Pures Appl. 17 (1938) p. 105-151
  3. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Minkowski's Question Mark Function », MathWorld

Références

Article connexe

Théorie des nombres


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