Fonction mesurable

Fonction mesurable

Soient E et F des espaces mesurables munis de leurs tribus respectives \mathcal{E} et \mathcal{F}.

Une fonction f de E dans F sera dite fonction mesurable de (E,\mathcal{E}) dans (F,\mathcal{F}) si la tribu image réciproque par f de la tribu \mathcal{F} est incluse dans \mathcal{E} , c'est-à-dire si, pour tout B appartenant à \mathcal{F} , son image réciproque f − 1(B) appartient à \mathcal{E}.

Applications à valeurs réelles

Si F est l'ensemble des réels et si \mathcal{F} est sa tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur (E,\mathcal{E}).

La tribu borélienne sur \R étant engendrée (par exemple) par les demi-droites ]a,+\infty[, le lemme de transport assure que f est une fonction mesurable sur (E,\mathcal{E}) si et seulement si l'image réciproque par f de chacune de ces demi-droites est dans \mathcal{E}.

Pour les fonctions à valeurs dans la droite achevée \overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty,\infty\}, un résultat analogue se vérifie avec les intervalles ]a,\infty].

Propriétés de passage à la limite pour les fonctions à valeurs réelles

Soient E un espace mesurable et (f_n) \; une suite de fonctions mesurables de E dans \R (ou même dans \overline{\R}). Alors la fonction f définie par

f = sup nfn

(à valeurs dans \overline{\R}) est mesurable.

En effet, l'image réciproque par f de ]a,\infty]\; peut s'écrire

\bigcup_{n\in \mathbb{N}} \{x\in E, f_n(x)>a\},

et cet ensemble est une réunion dénombrable d'éléments de \mathcal{E}, donc un ensemble mesurable.

Par passage aux opposés, on en déduit que, si les fonctions fn de E dans \overline{\R} sont toutes mesurables, alors la fonction inf fn l'est également.

On peut alors montrer que les fonctions limites inférieure et supérieure \liminf_{n\rightarrow +\infty} f_n, \limsup_{n\rightarrow +\infty} f_n sont elles aussi mesurables.

En particulier, si la suite (fn) converge simplement vers une fonction f, alors f est mesurable.



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction mesurable de Wikipédia en français (auteurs)

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