Lemme de transport

Lemme de transport

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie de la mesure, le lemme de transport est utilisé pour montrer que certaines applications sont mesurables.

Si A est un ensemble et \mathcal{C}\subset\mathcal{P}\left( A\right) est un ensemble de parties de A, on notera \sigma\left(\mathcal{C}\right) la tribu engendrée par \mathcal{C}.

Sommaire

Énoncé

Soient X et Y deux ensembles, f:\;X\to Y une application et \mathcal{E}\subset\mathcal{P}\left(Y\right) un ensemble de parties de Y, on a alors f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{E}\right)\right)=\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{E}\right)\right).

Démonstration

On montre l'égalité par double inclusion :

  • Sens \supset
    f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{E}\right)\right) est une tribu (car elle vérifie la définition d'une tribu) et contient f^{-1}\left(\mathcal{E}\right) (car \sigma\left(\mathcal{E}\right) contient \mathcal{E}). Elle contient donc la tribu engendrée \sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{E}\right)\right).
  • Sens \subset
    On considère l'ensemble \mathcal{S}=\{B\in\mathcal{P}(Y)\; ; \;f^{-1}(B)\in\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{E}\right)\right)\}, qui est une tribu sur Y (puisqu'il vérifie la définition d'une tribu) et qui contient \mathcal{E}. On a donc \sigma\left(\mathcal{E}\right)\subset\mathcal{S} et par suite f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{E}\right)\right)\subset f^{-1}\left(\mathcal{S}\right), or f^{-1}\left(\mathcal{S}\right)\subset\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{E}\right)\right) par définition de \mathcal{S}.

Exemple d'application

Une application classique du lemme de transport est de montrer qu'une application continue est borélienne.

En effet si (X,\mathcal{O}) et (Y,\mathcal{U}) sont des espaces topologiques, f:(X,\sigma(\mathcal{O}))\to(Y,\sigma(\mathcal{U})) est borélienne si et seulement si f^{-1}(\sigma(\mathcal{U}))\subset\sigma\left(\mathcal{O}\right) ; or d'après le lemme de transport f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{U}\right)\right)=\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{U}\right)\right). Si on suppose que f est continue alors f^{-1}\left(\mathcal{U}\right)\subset\mathcal{O}, et on a bien \sigma(f^{-1}\left(\mathcal{U}\right))\subset\sigma(\mathcal{O}) donc f^{-1}(\sigma(\mathcal{U}))\subset\sigma\left(\mathcal{O}\right).

Cas général

Plus généralement le lemme de transport dit que si (X,\mathcal{A}) et (Y,\mathcal{B}) sont des espaces mesurables et si \mathcal{C}\subset\mathcal{P}(Y) tel que \sigma(\mathcal{C})=\mathcal{B} alors f:(X,\mathcal{A})\to(Y,\mathcal{B}) est mesurable si et seulement si f^{-1}(\mathcal{C})\subset\mathcal{A} ce qui n'est pas anodin et peut simplifier considérablement la caractérisation des applications (\mathcal{A},\mathcal{B})-mesurables.

Référence

  • Marc Briane & Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Paris, Vuibert, coll. « Les grands cours Vuibert », octobre 2000, 302 p. (ISBN 2-7117-8946-2), p. 49 et 53 

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Lemme de transport de Wikipédia en français (auteurs)

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