Fonction maximale de Hardy-Littlewood

Fonction maximale de Hardy-Littlewood

En mathématiques et plus particulièrement en analyse, la fonction maximale de Hardy-Littlewood est un opérateur mathématiques M qui associe à toute fonction intégrable f\in L^1\left(\R^n\right) une autre fonction Mf ; cette fonction Mf est définie en chaque point x\in\R^n comme étant la plus grande valeur moyenne possible de f sur les boules centrées en x. La notion de fonction maximale est intervenue pour la première fois dans un article publié en 1930 par Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood dans Acta Mathematica.

Sommaire

Formulation

À toute fonction intégrable au sens de Lebesgue f\in L^1\left(\R^n\right) on peut associer la fonction maximale de Hardy-Littlewood Mf:\R^n\to\R définie par

Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{\lambda\left(B(x,r)\right)}\int_{B(x,r)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t);

où B\left(x,r\right) désigne la boule de \R^n centrée en x et de rayon r > 0 et λ désigne la mesure de Lebesgue.

Propriété

La fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à toute fonction de L^1\left(\R^n\right) est semi-continue inférieurement.

Démonstration

Il suffit de montrer que pour tout réel c, {Mf > c} est un ouvert de \R^n.

Soit x\in\{Mf>c\} alors il existe r > 0 et α > c tels que

\alpha \lambda\left(B(x,r)\right)=\int_{B(x,r)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t).

Puisque α / c > 1 on a aussi facilement l'existence d'un réel δ > 0 tel que

(r+\delta)^n<r^n\frac{\alpha}{c}\quad(*).

Nous allons montrer que B(x,\delta)\subset\{Mf>c\}, soit y\in B(x,\delta), on remarque tout d'abord grâce à l'inégalité triangulaire que B(x,r)\subset B(y,r+\delta) et donc que

\int_{B(y,r+\delta)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t)\geq\int_{B(x,r)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t)=\alpha\lambda\left(B(x,r)\right)=\alpha\lambda\left(B(y,r)\right); car la mesure de Lebesgue est invariante par translation.

Ensuite, d'après ( * ), on a

\int_{B(y,r+\delta)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t)\geq\alpha\left(\frac{r}{r+\delta}\right)^n \lambda\left(B(y,r+\delta)\right)> c\lambda\left(B(y,r+\delta)\right)..

On a donc bien Mf(y) > c ce qui prouve que B(x,\delta)\subset\{Mf>c\} et donc que {Mf > c} est un ouvert d'où la semi-continuité inférieure de la fonction maximale.

Inégalité maximale de Hardy-Littlewood

Quels que soient f\in L^1\left(\R^n\right) et c > 0, on a

\lambda\left(\{Mf>c\}\right)\leq\frac{3^n||f||_1}{c}.
Démonstration

Soit K=B(0,R)\cap \{Mf>c\}. Pour tout x\in K il existe un rayon rx tel que

\frac{1}{\lambda\left(B(x,r_x)\right)}\int_{B(x,r_x)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t)>c.

Comme K est borné, on peut, d'après le lemme de recouvrement de Vitali, choisir des boules \left(B(x_i,r_{x_i})\right)_{1\leq i\leq k} disjointes telles que

K\subset\bigcup_{i=1}^{k}B(x_i,3r_i).

On a alors:

\lambda\left(K\right)\leq\lambda\left(\bigcup_{i=1}^{k}B(x_i,3r_i)\right)\leq\sum\limits_{i=1}^{k}\lambda\left(B(x_i,3r_i)\right)=3^n\sum\limits_{i=1}^{k}\lambda\left(B(x_i,r_i)\right)\leq \frac{3^n}{c}\sum\limits_{i=1}^{k}\int_{B(x,r_x)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t)\leq\frac{3^n||f||_1}{c};

car les boules sont disjointes.

En utilisant le théorème de continuité séquentielle croissante, on obtient le résultat voulu en faisant tendre R vers l'infini.

Applications

Généralisation au cas des mesures de Borel

En gardant les notations précédentes, on peut associer à toute mesure de Borel μ sur \R^n la fonction maximale Mμ définie par :

M\mu(x)=\sup_{r>0} \frac{\mu\left(B(x,r)\right)}{\lambda\left(B(x,r)\right)}.

La propriété de semi-continuité inférieure et l'inégalité maximale sont alors encore vraies et se démontrent de la même manière.

Voir aussi

Articles connexes

Références

  • Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
  • Henri Lebesgue, Leçons sur la théorie de l'intégration et la recherche de fonctions primitives, Paris, Gauthier-Villars, 1928, 2e éd. (ISBN 2-87647-059-4) 
  • (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « A maximal theorem with function-theoretic applications », dans Acta Mathematica, vol. 54, 1930, p. 81–116 

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