Théorème de différenciation de Lebesgue

En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie de l'intégration, le théorème de différenciation de Lebesgue stipule que sous certaines conditions on peut retrouver une fonction $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ en dérivant son intégrale, mais il faut avant tout définir ce qu'est la dérivée d'une intégrale lorsque l'on intègre sur une partie de $\mathbb{R}^n$ .

Motivation

Dès le début de la théorie de l'intégration la question s'est posée de savoir sous quelles conditions la dérivation et l'intégration sont des applications réciproques l'une de l'autre. Une réponse à cette question est donnée par le théorème fondamental de l'analyse qui a été énoncé et démontré plusieurs fois dans les différentes théories de l'intégration (intégrale de Riemann, intégrale de Lebesgue). La version la plus générale (celle qui se situe dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue) de la première partie du théorème fondamental du calcul a été démontré dans le livre Leçons sur la théorie de l'intégration et la recherche de fonctions primitives de Lebesgue à qui l'on doit aussi une généralisation du théorème au cas des mesures sur $\mathbb{R}$ .

Énoncé

Pour toute fonction intégrable au sens de Lebesgue $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ , on a pour presque tout $x\in\mathbb{R}^n$ :

$\lim_{r\rightarrow 0^+}\frac{1}{\lambda\left(B\left(x,r\right)\right)}\int_{B(x,r)}|f(t)-f(x)|\mathrm{d}\lambda(t)=0;$

où $B\left(x,r\right)$ désigne la boule de $\mathbb{R}^n$ centrée en $x$ et de rayon $r > 0$ et $λ$ désigne la mesure de Lebesgue.

Une autre manière d'énoncer le théorème de différenciation de Lebesgue est de dire que l'ensemble des $x\in\mathbb{R}^n$ qui ne sont pas des points de Lebesgue est négligeable.

Preuve

Démonstration

Pour $x\in\mathbb{R}^n$ et $r > 0$ , on pose :

$T_r(f)(x)=\frac{1}{\lambda\left(B\left(x,r\right)\right)}\int_{B(x,r)}|f(t)-f(x)|\mathrm{d}\lambda(t)$

$T(f)(x)=\limsup_{r\to 0} T_r(f)(x)$

Nous prenons ici la limite sup car la limite lorsque $r\to 0$ n'est pas nécessairement définie, le but étant ici de montrer que $T (f) = 0$ presque partout en montrant que pour tout $c>0,\; \{Tf>c\}$ est négligeable.

Soit $k > 0$ un entier. Nous savons d'après la densité des fonctions continues dans les espaces $L p$ qu'il existe une fonction continue $g$ telle que $||f-g||_1<\frac{1}{k}$ .

Si on pose $h = f - g$ on a alors $T_r(h)(x)\leq \frac{1}{\lambda\left(B\left(x,r\right)\right)}\int_{B(x,r)}|h(t)|\mathrm{d}\lambda(t)+|h(x)|$ et donc $T(h)(x)\leq Mh(x)+|h(x)|\quad(*)$

où $M h$ est la fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à $h$ .

La continuité de g assure $T (g) = 0$ , de $f = g + h$ on tire $T_r(f)\leq T_r(g)+T_r(h)$ et donc, en passant à la limite sup, $T(f)\leq T(g)+T(h)=T(h)$ ce qui peut encore se majorer d'après $( * )$ de la manière suivante : $T(f)\leq Mh +|h|$ .

On a alors pour tout $c > 0$ l'inclusion suivante $\{Tf>2c\}\subset\{Mh>c\}\cup\{|h|>c\}$ or d'après l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood $\lambda\left(\{Mh>c\}\right)\leq\frac{3^n||h||_1}{c}\leq\frac{3^n}{ck}$ et d'autre part $\lambda\left(\{|h|>c\}\right)\leq\frac{||h||_1}{c}\leq\frac{1}{kc}$ . L'ensemble $\{Mh>c\}\cup\{|h|>c\}$ qui est mesurable a donc une mesure inférieure à $\frac{3^n+1}{ck}$ ce qui veut dire que ${T f > 2 c}$ est inclus dans un ensemble de mesure inférieur à $\frac{3^n+1}{ck}$ pour tout entier $k > 0$ , en prenant alors l'intersection sur $k > 0$ de tous ces ensembles on montre alors que ${T f > 2 c}$ est inclus dans un ensemble de mesure nulle, ${T f > 2 c}$ est donc négligeable, ce qu'il fallait démontrer.

Référence

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe : cours et exercices [détail des éditions]

Henri Lebesgue, Leçons sur la théorie de l'intégration et la recherche de fonctions primitives, 2ème édition, Gauthier-Villars, Paris, 1928 (ISBN 2-87647-059-4)

Voir aussi

Théorème fondamental de l'analyse

Point de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue

Lemme de recouvrement de Vitali

Fonction maximale de Hardy-Littlewood

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de diff%C3%A9renciation de Lebesgue ».

Catégories : Théorème de mathématiques | Théorie de la mesure | Analyse réelle

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de différenciation de Lebesgue de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

Theoreme fondamental de l'analyse — Théorème fondamental de l analyse Isaac Newton, historiquement reconnu comme l auteur du théorème fondamental de l analyse, portrait par Godfrey Kneller (1689) Le théorème fondamental de l analyse (ou théorème fondamental du calcul différentiel… … Wikipédia en Français
Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral — Théorème fondamental de l analyse Isaac Newton, historiquement reconnu comme l auteur du théorème fondamental de l analyse, portrait par Godfrey Kneller (1689) Le théorème fondamental de l analyse (ou théorème fondamental du calcul différentiel… … Wikipédia en Français
Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants … Wikipédia en Français
Différentiation — Cet article court présente un sujet plus développé dans : Différentielle. Cet article possède un paronyme, voir : Différenciation. La différentiation désigne, en mathématiques, l action de déterminer la différentielle d une fonction.… … Wikipédia en Français
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes — La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l’analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles,… … Encyclopédie Universelle

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Théorème de différenciation de Lebesgue