Fonction génératrice

Pour les articles homonymes, voir Génératrice.

Sommaire

1 En mathématiques
2 En probabilité
3 Voir aussi
4 Références

En mathématiques

En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (a_n) est la série formelle définie par

$\sum a_nX^n$

On confond parfois la fonction génératrice et une fonction de la variable x. Cependant, il est utile de préciser qu'une fonction génératrice est avant tout une série formelle et que la fonction de la variable x correspondante risque de ne pas converger pour tout x.

fonction génératrice de la suite constante 1 : $\sum X^n = \frac{1}{1 - X}$
fonction génératrice de la suite (n) : $\sum nX^n = \frac{X}{(1-X)^2}$
fonction génératrice de la suite $(n 2)$ : $\sum n^2X^n = \frac{X(1+X)}{(1-X)^3}$
fonction génératrice de la suite $\frac{1}{n!}$ : $\sum \frac{X^n}{n!} = e^X$

On parle aussi de fonction génératrice exponentielle de la suite (a_n) définie par la série formelle $\sum a_n \frac{X^n}{n!}$ .

Lorsque l'on travaille plutôt avec l'inverse de X, la variable z=1/X, on parle alors de la transformée en Z, $\sum a_n{(1/z)}^n$ , qui est beaucoup utilisée en traitement du signal et en asservissements.

On peut retrouver la suite initiale (a_n) à partir de la fonction génératrice $F (X)$ (resp. la fonction génératrice exponentielle $E (X)$ ) selon les formules

$a_k = \frac{1}{k!} \frac{d^k F}{d X^k}(0) \quad\text{ et }\quad a_k = \frac{d^k E}{d X^k}(0)$

En probabilité

Définition

Soit X une variable aléatoire entière et positive, la fonction génératrice de X est la série entière:

$G_X(t)=\sum _{k=0} ^\infty \mathbb{P}(X=k)t^k,$

où $\scriptstyle\ \mathbb{P}(X=k)\$ est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k.

Fonctions génératrices de lois usuelles

Pour la loi de Poisson de paramètre λ, on a $\scriptstyle\ \mathbb{P}(X=k)= \frac {\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\$ et il vient

$G_{\lambda}(t)=e^{\lambda(t-1)}\ ;$

Pour la loi binomiale de paramètres (n, p), on a $\scriptstyle\ \mathbb{P}(X=k)= C^k _n p^k (1-p)^{n-k}\$ et on en déduit

G n, p (t) = (1 - p + p t) n .

Propriétés

Le rayon de convergence de cette série entière est toujours supérieur ou égal à 1.

On peut remarquer que

$G_X(t)=\mathbb{E}[t^{ X}].$

Si X admet une espérance $\scriptstyle\ \mathbb{E}[X]\$ alors $\scriptstyle\ G_X\$ et sa dérivée sont définies en t=1 et on a:

$\mathbb{E}[X]= \frac{dG_X}{dt} (t=1).$

Si X admet une variance $\scriptstyle\ \text{Var}(X)\$ , et donc une espérance $\scriptstyle\ \mathbb{E}[X],\$ alors $\scriptstyle\ G_X\$ et ses dérivées première et seconde sont définies en t=1 et on a:

$Var[X]=\frac{d^2 G_X}{dt^2} (t=1) + \frac {dG_X} {dt} (t=1) - \left(\frac{dG_X}{dt} (t=1)\right)^2.$

Si deux variables aléatoires réelles discrètes à valeurs dans $\scriptstyle\ \mathbb{N}\$ admettent la même fonction génératrice, alors elles ont la même loi de probabilité^[1].

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes entières et positives. Si X et Y sont indépendantes alors on a:

$G_{X+Y}=G_X\times G_Y.$

Remarque : La réciproque est fausse.

Si X₁, X₂, ..., X_n est une suite de variables aléatoires indépendantes, et si

$S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,$

où les a_i sont des constantes, alors

$G_{S_n}(z) = E(z^{S_n}) = E(z^{\sum_{i=1}^n a_i X_i,}) = G_{X_1}(z^{a_1})G_{X_2}(z^{a_2})\cdots G_{X_n}(z^{a_n}).$

Par exemple, si les X_i ont de plus même loi (et donc même fonction génératrice G ), alors

$S_n = \sum_{i=1}^n X_i,$

a pour fonction génératrice :

$G_{S_n} = G^n.$

Composition des fonctions génératrices

La propriété suivante est particulièrement utile à l'étude des processus de Galton-Watson.

Théorème — Soit $\scriptstyle\ (X_n)\$ une suite de variables aléatoires de même loi et $\scriptstyle\ N\$ une variable aléatoire, toutes à valeurs dans $\scriptstyle\ \mathbb{N}.$

On pose

$S_N = \sum_{n=1}^{N}X_n= \sum_{n\ge 1}X_n\ 1\!\!1_{\{N\ge n\}}.$

On suppose que $\scriptstyle\ (N,X_1,X_2,...)\$ est une famille de variables aléatoires indépendantes.

Alors :

$G_{S_N}=G_N\circ G_X.$

Démonstration

Notons que, si $\scriptstyle\ S_0\equiv 0,\$ et si

$S_n = \sum_{k=1}^{n}X_k,$

alors

$S_N = \sum_{n\ge 0}\ S_n\ 1\!\!1_{\{N= n\}}.$

Par conséquent,

$\begin{align} G_{S_N}(z) &= \mathbb{E}\left[z^{S_N}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[z^{\sum_{n\ge 0}\ S_n\ 1\!\!1_{\{N= n\}}}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\sum_{n\ge 0}\ z^{S_n}\ 1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[z^{S_n}\ 1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[z^{S_n}\right]\times\mathbb{E}\left[1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ G_{S_n}(z)\times\mathbb{P}\left(N= n\right)\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{P}\left(N= n\right)\times \left(G_{X}(z)\right)^n\\ &= G_N\left(G_X(z)\right). \end{align}$

CQFD

Généralisation aux variables aléatoires non entières

Cette notion de fonction génératrice se généralise aux variables aléatoires continues par les fonctions caractéristiques. Une autre notion utile est la fonction génératrice des moments.

Voir aussi

Références

↑ Ce résultat est induit par le fait qu'il existe une relation bijective entre une loi de probabilité et sa fonction génératrice. La loi de probabilité définit la fonction génératrice F et, réciproquement, on retrouve la loi de probabilité à partir de F puisque $p k = F (k) (0) / k!$ . Cette relation justifie l'appellation anglaise de Probability-generating function (en)

Portail des mathématiques
Portail des probabilités et des statistiques

Catégorie :

Loi de probabilité

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction génératrice de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

Fonction Génératrice — Sommaire 1 En mathématiques 2 En probabilité 2.1 Définition 2.2 Exemples pour les lois usuelles … Wikipédia en Français
Fonction generatrice — Fonction génératrice Sommaire 1 En mathématiques 2 En probabilité 2.1 Définition 2.2 Exemples pour les lois usuelles … Wikipédia en Français
fonction génératrice — generuojančioji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. generating function vok. erzeugende Funktion, f rus. производящая функция, f pranc. fonction génératrice, f … Fizikos terminų žodynas
Fonction génératrice des moments — Dans le domaine des probabilités et statistiques, la fonction génératrice des moments d une variable aléatoire est définie par lorsque son espérance existe. Cette fonction, comme son nom l indique, est utilisée afin de générer les moments… … Wikipédia en Français
Fonction Partition — En mathématiques, la fonction partition p(n) représente le nombre de partitions possibles d un entier naturel n, ce qui veut dire le nombre de manières distinctes (et d ordre indépendant) de représenter n comme une somme d entiers. Par convention … Wikipédia en Français
Fonction partition — En mathématiques, la fonction partition p(n) représente le nombre de partitions possibles d un entier naturel n, ce qui veut dire le nombre de manières distinctes (et d ordre indépendant) de représenter n comme une somme d entiers. Par convention … Wikipédia en Français
Fonction Caractéristique D'une Variable Aléatoire — La fonction caractéristique d une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur par Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse (à un facteur … Wikipédia en Français
Fonction caracteristique d'une variable aleatoire — Fonction caractéristique d une variable aléatoire La fonction caractéristique d une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur par Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la … Wikipédia en Français
Fonction caractéristique (probabilités) — Fonction caractéristique d une variable aléatoire La fonction caractéristique d une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur par Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la … Wikipédia en Français
Fonction Zeta Locale — Fonction zêta locale En mathématiques et dans la théorie des nombres, une fonction zêta locale est une fonction génératrice pour le nombre de solutions d un ensemble d équations définies sur un corps fini F, dans les extensions de corps de F. L… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Fonction génératrice

Sommaire

En mathématiques