Fonction caractéristique (probabilités)

Fonction caractéristique (probabilités)

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire

La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur \scriptstyle\ \R\ par

\begin{align} \varphi_{X}(t)&=\mathbb{E}\left[e^{itX}\right] \\ &=\mathbb{E}\left[\cos (tX)\right]+i\ \mathbb{E}\left[\sin (tX)\right]. \end{align}

Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse (à un facteur \scriptstyle\ 2\pi \, près suivant la convention) de la densité. Il arrive que l'on prenne \scriptstyle\ \phi_X(t) = E[e^{2i\pi tX}].


Plus généralement, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X à valeurs dans \scriptstyle\ \R^d\ est la fonction à valeurs complexes définie sur \scriptstyle\ \R^d\ par

\phi_X(u) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle u , X \rangle}\right]\,

où \scriptstyle\ \langle u , X \rangle\, est le produit scalaire de u avec X.


Lorsque la variable aléatoire X est discrète, on définit sa fonction génératrice par

G(z)=\mathbb{E}\left[z^X\right]

avec z complexe (quand cela a un sens). Avec les notations précédentes on a donc

\phi_{X}(t)=G\left(e^{it}\right);

cette fonction G est donc en fait un prolongement de \scriptstyle\ \phi_{X}.


Propriétés de la fonction caractéristique

  • Elle détermine de façon unique la loi d'une variable aléatoire au sens où \phi_X=\phi_Y\, (égalité de fonctions) équivaut à "X\, et Y\, ont la même loi."
  • Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, \phi_{X+Y}=\phi_{X}\,\phi_{Y}. Plus généralement, si X_1, \ldots, X_n sont des variables aléatoires indépendantes dans leur ensemble, alors \phi_{X_1+\cdots+X_n}=\phi_{X_1}\cdots\phi_{X_n}.


En appliquant alors la transformée de Fourier à φX + Y cela permet de retrouver la loi de X+Y.


  • Il y a aussi une relation entre les moments et la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. Lorsque les moments existent et que la série converge :
\phi_X(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^k \mu_k}{k!}t^k où μk est le moment d'ordre k.
  • Cette relation sert parfois pour calculer la moyenne (premier moment) et la variance d'une variable aléatoire. Plus explicitement
1=\phi_X(0),\qquad\mathbb{E}[X]=-i\,\phi^{\prime}_X(0),\qquad\mathbb{E}\left[X^2\right]=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)
\textrm{Var}(X)=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)+\phi^{\prime 2}_X(0).
  • La relation suivante sert, par exemple, à calculer la fonction caractéristique d'une variable centrée réduite, à partir de la fonction caractéristique de la variable de départ :
\phi_{aX+b}(t)=\phi_X(at)\,e^{itb}.

Voir aussi

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
Ce document provient de « Fonction caract%C3%A9ristique d%27une variable al%C3%A9atoire ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction caractéristique (probabilités) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Fonction Caractéristique — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. On rencontre des fonctions caractéristiques en physique : Fonction caractéristique (thermodynamique) et en mathématiques Fonction caractéristique… …   Wikipédia en Français

  • Fonction caracteristique — Fonction caractéristique Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. On rencontre des fonctions caractéristiques en physique : Fonction caractéristique (thermodynamique) et en mathématiques… …   Wikipédia en Français

  • Fonction caractéristique — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. On rencontre des fonctions caractéristiques en physique : Fonction caractéristique (thermodynamique) et en mathématiques Fonction caractéristique… …   Wikipédia en Français

  • Fonction Caractéristique D'une Variable Aléatoire — La fonction caractéristique d une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur par Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse (à un facteur …   Wikipédia en Français

  • Fonction caracteristique d'une variable aleatoire — Fonction caractéristique d une variable aléatoire La fonction caractéristique d une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur par Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la …   Wikipédia en Français

  • Fonction caractéristique d'une variable aléatoire — En probabilités et en statistiques, la fonction caractéristique d une variable aléatoire réelle X détermine de façon unique sa loi de probabilité. Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de… …   Wikipédia en Français

  • PROBABILITÉS (CALCUL DES) — Le calcul des probabilités est certainement l’une des branches les plus récentes des mathématiques, bien qu’il ait en fait trois siècles et demi d’existence. Après s’être cantonné dans l’étude des jeux de hasard, il s’est introduit dans presque… …   Encyclopédie Universelle

  • caractéristique — [ karakteristik ] adj. et n. f. • 1550; gr. kharaktêristikos I ♦ Adj. 1 ♦ Qui constitue un élément distinctif reconnaissable. Différence, élément, marque, propriété, signe, trait caractéristique. ⇒ déterminant, distinctif, essentiel, particulier …   Encyclopédie Universelle

  • fonction — [ fɔ̃ksjɔ̃ ] n. f. • 1537; lat. functio « accomplissement », du v. fungi « s acquitter de » I ♦ Action, rôle caractéristique (d un élément, d un organe) dans un ensemble. A ♦ (Personnes) 1 ♦ Exercice d un emploi, d une charge; par ext. Ce que… …   Encyclopédie Universelle

  • Fonction Génératrice — Sommaire 1 En mathématiques 2 En probabilité 2.1 Définition 2.2 Exemples pour les lois usuelles …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”