Fonction digamma

Fonction digamma
Représentation de la fonction digamma ψ(s) sur la droite des réels.

En mathématiques, la fonction digamma ou fonction psi est définie par

\psi(x) =D \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}

D est l'opérateur différentiel.

La fonction digamma, souvent notée aussi \psi_0(x)\, ou même \psi^{(0)}(x)\,, est reliée aux nombres harmoniques par

\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\,

H_{n-1}\, est le (n - 1)-ième nombre harmonique, et \gamma\, est la célèbre constante d'Euler-Mascheroni.

Plus généralement, on peut écrire la fonction digamma sous la forme :

\psi(x)=-\gamma-1/x+x\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+x)}\,

Valeurs spéciales

La fonction digamma a pour valeurs:

 \psi(1) = -\gamma\,\!
 \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln(2) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln(2) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln(2) -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln(2) - \frac{\sqrt{2}}{2} \left[\pi + \ln\left(2 + \sqrt{2}\right) - \ln\left(2 - \sqrt{2}\right)\right] - \gamma

Voir aussi


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