Fonction digamma

Fonction digamma
Représentation de la fonction digamma ψ(s) sur la droite des réels.

En mathématiques, la fonction digamma ou fonction psi est définie par

\psi(x) =D \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}

D est l'opérateur différentiel.

La fonction digamma, souvent notée aussi \psi_0(x)\, ou même \psi^{(0)}(x)\,, est reliée aux nombres harmoniques par

\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\,

H_{n-1}\, est le (n - 1)-ième nombre harmonique, et \gamma\, est la célèbre constante d'Euler-Mascheroni.

Plus généralement, on peut écrire la fonction digamma sous la forme :

\psi(x)=-\gamma-1/x+x\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+x)}\,

Valeurs spéciales

La fonction digamma a pour valeurs:

 \psi(1) = -\gamma\,\!
 \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln(2) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln(2) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln(2) -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln(2) - \frac{\sqrt{2}}{2} \left[\pi + \ln\left(2 + \sqrt{2}\right) - \ln\left(2 - \sqrt{2}\right)\right] - \gamma

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction digamma de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Fonction Digamma — Représentation de la fonction digamma ψ(s) sur la droite des réels. En mathématiques, la fonction digamma ou fonction psi est définie par où D …   Wikipédia en Français

  • Fonction Polygamma — Tracé de la fonction polygamma le long de l axe des réels avec en orange m=0, en jaune m=1, en vert m=2, en rouge m=3 et en bleu m=4 En mathématiques, la fonction polygamma d ordre m est définie comme la m+1 ième dérivée logarithmique de la… …   Wikipédia en Français

  • Fonction Gamma — Pour les articles homonymes, voir gamma (homonymie). Tracé de la fonction gamma le long de l axe des réels En mathématiques, la fonction g …   Wikipédia en Français

  • Fonction Gamma d'Euler — Fonction gamma Pour les articles homonymes, voir gamma (homonymie). Tracé de la fonction gamma le long de l axe des réels En mathématiques, la fonction g …   Wikipédia en Français

  • Fonction polygamma — Tracé de la fonction polygamma le long de l axe des réels avec en orange m=0, en jaune m=1, en vert m=2, en rouge m=3 et en bleu m=4 En mathématiques, la fonction polygamma d ordre m est définie comme la m+1 ième dérivée logarithmique de la… …   Wikipédia en Français

  • Fonction gamma — Pour les articles homonymes, voir gamma (homonymie). Tracé de la fonction gamma le long de l axe des réels En mathématiques, la fonction gamma (ou fonction Gamma) est une fonction …   Wikipédia en Français

  • Fonction spéciale — Interférences d ondes émises par deux sources cylindriques. Le phénomène s interprète à l aide des fonctions de Bessel. L analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques non élémentaires[1] …   Wikipédia en Français

  • Fonctions Spéciales — Fonction spéciale Interférences d ondes émises par deux sources cylindriques. Le phénomène s interprète à l aide des fonctions de Bessel. L analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques… …   Wikipédia en Français

  • Fonctions speciales — Fonction spéciale Interférences d ondes émises par deux sources cylindriques. Le phénomène s interprète à l aide des fonctions de Bessel. L analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques… …   Wikipédia en Français

  • Fonctions spéciales — Fonction spéciale Interférences d ondes émises par deux sources cylindriques. Le phénomène s interprète à l aide des fonctions de Bessel. L analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”