Exemples d'équations différentielles

Exemples d'équations différentielles

Sommaire

Une équation différentielle linéaire

Les équations différentielles les plus simples sont les équations linéaires homogènes du premier ordre. Par exemple :

{dy \over dt} + f(t) y = 0

où f est une fonction connue admettant des primitives. Nous pouvons résoudre cette équation en la réorganisant:

{d \over dt} \left( e^{F(t)} y \right) = 0

où F(t) = \int f(t) dt\,. En l'intégrant on obtient

y = A e^{-F(t)}\,

où A est une constante arbitraire. (On peut vérifier que y est solution)

Une oscillation simple non amortie

Prenons une masse reliée à un ressort. Il exerce sur celle-ci une force de rappel proportionnelle à l'extension ou la compression du ressort par rapport à sa longueur au repos. Nous négligeons les autres forces : gravité, frottement, etc. Nous pouvons alors décrire l'allongement du ressort à un temps t\, comme une fonction x(t)\,. Cette fonction vérifie alors l'équation différentielle suivante :

\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2x\, où ω est un réel positif

Dont les solutions sont :

x(t) = A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t)\,

Pour déterminer les constantes A\, et B\,, nous utilisons les conditions initiales qui permettent de décrire l'état du système à un instant donné (correspondant en général à t = 0\,).

Par exemple si nous supposons qu'à l'instant t = 0\, l'extension du ressort est d'une unité de longueur (x = 1\,), et la masse est immobile (dx/dt = 0\,). Nous pouvons en déduire

x(0) = A \cos 0 + B \sin 0 = A = 1\,,

d'où l'on déduit A = 1\,.

x'(0) = -\omega A \sin 0 + \omega B \cos 0 = \omega B = 0\,,

et donc B = 0\,.

En conséquence x(t) = \cos (\omega t)\, est solution de l'équation différentielle étudiée.

Plus souvent en physique pour les oscillations simples non amorties on utilise la solution de la forme:

x(t) = Acos(ωt + ϕ),
A étant l'amplitude et ϕ la phase.

Pour l'exemple cité on procède:

x(0) = Acos(ϕ) = 1
x'(0) = − Aωsin(ϕ) = 0

Ce qui donne ϕ = 0 et par conséquent A = 1

D'où le résultat x(t) = cos(ωt)

La solution la plus générale en fonction de conditions initiales quelconques x_0~ et \dot x_0 est donnée par l'équation :

x(t) = x_0\cos{(\omega t)} + \dfrac{\dot x_0}{\omega} \sin{(\omega t)}

Prise en compte de l'amortissement

Le modèle précédent négligeait les forces de frottement. De ce fait l'oscillation libre pouvait durer indéfiniment, ce qui n'est jamais observé en réalité.

Les frottements sont en général une force proportionnelle à la vitesse (dx / dt) et opposée au mouvement. En rajoutant ce terme notre équation différentielle devient :

\frac{d^2x}{dt^2} = - c \frac{dx}{dt} - \omega^2x\, où c\, est le coefficient de frottement, avec c > 0\,.

Ceci est une équation différentielle linéaire à coefficients constants, homogène et du second ordre, que nous pouvons résoudre.

En cherchant une solution de la forme particulière A e^{kt}\,, nous constatons que k\, doit vérifier l'équation caractéristique suivante :

k^2 + c k + \omega^2 = 0\,.

Si c < 2 \omega\, nous avons deux racines complexes a \pm i b\,, et la solution (avec les conditions initiales identiques au cas précédent) a la forme suivante :

x(t) = e^{at} \left(\cos bt - \frac{a}{b} \sin bt \right) \,

(Nous pouvons démontrer que a < 0\,)

Le système étudié (le pendule pesant dans le référentiel terrestre supposé galiléen) est le siège d'oscillations libres amorties. Le centre d'inertie de la masse a une trajectoire que décrit la courbe suivante :

Oscillation amortie.png

(ce sont les positions du centre d'inertie de la masse, en fonction du temps, avec x = 0 correspondant à une position d'équilibre)

NB : la courbe présente une allure proche d'un régime critique : la position d'équilibre est à peine franchie, et on ne compte guère plus d'une pseudo-période d'oscillations.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Exemples d'équations différentielles de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Exemples D'équations Différentielles — Sommaire 1 Une équation différentielle linéaire 2 Une oscillation simple non amortie 3 Prise en compte de l amortissement 4 Voir a …   Wikipédia en Français

  • Exemples d'equations differentielles — Exemples d équations différentielles Sommaire 1 Une équation différentielle linéaire 2 Une oscillation simple non amortie 3 Prise en compte de l amortissement 4 Voir a …   Wikipédia en Français

  • Équations différentielles — Équation différentielle En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L ordre d une équation différentielle correspond au degré maximal de différenciation auquel une… …   Wikipédia en Français

  • Équations différentielles ordinaires — Équation différentielle En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L ordre d une équation différentielle correspond au degré maximal de différenciation auquel une… …   Wikipédia en Français

  • Résolution des équations différentielles — Résolution d équations différentielles par quadrature Le problème de la résolution par quadrature pour une équation différentielle consiste à rechercher une écriture explicite pour les solutions de celle ci. Malheureusement, s il existe un… …   Wikipédia en Français

  • Méthode de résolution d'équations différentielles — Résolution d équations différentielles par quadrature Le problème de la résolution par quadrature pour une équation différentielle consiste à rechercher une écriture explicite pour les solutions de celle ci. Malheureusement, s il existe un… …   Wikipédia en Français

  • Resolution d'equations differentielles par quadrature — Résolution d équations différentielles par quadrature Le problème de la résolution par quadrature pour une équation différentielle consiste à rechercher une écriture explicite pour les solutions de celle ci. Malheureusement, s il existe un… …   Wikipédia en Français

  • Résolution d'équations différentielles par quadrature — Le problème de la résolution par quadrature pour une équation différentielle consiste à rechercher une écriture explicite pour les solutions de celle ci. S il existe un certain nombre d équations classiques présentant des procédés de résolution… …   Wikipédia en Français

  • Exemples D'espaces Vectoriels — Cette page présente une liste d exemples d espaces vectoriels. Vous pouvez consulter l article espace vectoriel pour y trouver les définitions des notions employées ci dessous. Voyez également les articles sur la dimension, les bases. Nous… …   Wikipédia en Français

  • Équations — Équation (mathématiques)  Cet article concerne les équations mathématiques dans leur généralité. Pour une introduction au concept, voir Équation (mathématiques élémentaires).   …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”