Équation caractéristique

En mathématiques, l’équation caractéristique (ou équation auxiliaire^[1]) est une équation polynomiale de degré $n$ dont dépend la solution^[2] d'une équation différentielle d'ordre $n$ . L'équation caractéristique ne peut être formée que lorsque l'équation différentielle est linéaire, homogène, et à coefficients constants^[1]. Une telle équation différentielle, avec $y$ comme variable dépendante et $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$ comme constantes,

$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0$

aura une équation caractéristique de la forme

$a_nr^{n}+a_1r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0=0$

dont les racines $r$ permettront de former la solution générale de l'équation différentielle^[1]^,^[3]^,^[4]. Cette méthode d'intégration des équations différentielles linéaires à coefficients constants a été découverte par Leonhard Euler qui a constaté que les solutions dépendent de l'équation caractéristique^[2]. Les qualités de l'équation caractéristique d'Euler ont ensuite été examinées plus en détail par les mathématiciens français Augustin-Louis Cauchy et Gaspard Monge^[2]^,^[4].

Sommaire

1 Principe
2 Formation de la solution générale
- 2.1 Racines réelles simples
3 Racines réelles multiples
4 Racines complexes
5 Notes et références

Principe

On considère l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$ ,

$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0.$

on peut voir que si $y (x) = e r x$ , chaque terme sera un multiple de $e r x$ par une constante. Cela résulte du fait que la dérivée de la fonction exponentielle $e r x$ est un multiple d'elle-même. Par conséquent, $y' = r e r x$ , $y'' = r 2 e r x$ et $y (n) = r n e r x$ sont toutes multiples de $e r x$ . On peut en déduire que certaines valeurs de $r$ , permettront à des multiples de $e r x$ d'avoir une somme égale à zéro et de résoudre ainsi l'équation différentielle homogène^[3]. Pour trouver les valeurs de $r$ , on peut remplacer $y$ et ses dérivées par $e r x$ et ses dérivées dans l'équation différentielle pour obtenir :

$a_nr^ne^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots+a_1re^{rx}+a_0e^{rx}=0.$

Puisque $e r x$ ne peut jamais être nul, on peut simplifier l'équation pour obtenir l'équation caractéristique

$a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0=0.$

En trouvant les racines $r$ de cette équation caractéristique, on pourra trouver la solution générale de l'équation différentielle^[1]^,^[4]. Par exemple, si $r$ vaut 3, alors la solution générale sera $y (x) = c e 3 x$ où $c$ est une constante.

Formation de la solution générale

Exemple

L'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants

$y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0~$

a pour équation caractéristique

$r^5+r^4-4r^3-16r^2-20r-12=0.~$

En factorisant l'équation caractéristique, on obtient :

$(r-3)(r^2+2r+2)^2=0.~$

On peut voir que les solutions sont la racine simple réelle $r 1 = 3$ et les racines doubles complexes $r_{2,3,4,5}=-1\pm i$ . Cela correspond à la solution générale à valeurs réelles avec constantes réelles $c_1,\ldots,c_5$

$y(x)=c_1e^{3x}+e^{-x}(c_2\cos x+c_3\sin x)+xe^{-x}(c_4\cos x+c_5\sin x).~$

Résoudre l'équation caractéristique pour trouver ses racines, $r_1,\ldots,r_n$ , permet de trouver la solution générale de l'équation différentielle. Les racines peuvent être réelles et/ou complexes, simples et/ou multiples. Si une équation caractéristique a pour solutions des racines réelles simples, $h$ racines réelles multiples et/ou $k$ racines complexes, correspondant respectivement aux solutions générales $y D (x)$ , $y_{R_1}(x),\ldots,y_{R_h}(x)$ , et $y_{C_1}(x),\ldots,y_{C_k}(x)$ , alors la solution générale de l'équation différentielle est

$y(x)=y_D(x)+y_{R_1}(x)+\cdots+y_{R_h}(x)+y_{C_1}(x)+\cdots+y_{C_k}(x).$

Racines réelles simples

Le principe de superposition des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants dit que si $u_1,\ldots,u_n$ sont $n$ des solutions linéairement indépendantes d'une équation différentielle particulière, alors^[1] $c_1u_1+\cdots+c_nu_n$ est aussi une solution pour toutes les valeurs $c_1,\ldots,c_n$ . Par conséquent, si l'équation caractéristique a pour solution les racines réelles distinctes $r_1,\ldots,r_n$ alors la solution générale sera de la forme

$y_D(x)=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+\cdots+c_ne^{r_nx}.$

Racines réelles multiples

Si l'équation caractéristique a une racine $r 1$ qui est répétée $k$ fois, alors il est clair que $y_p(x)=c_1e^{r_1x}$ , au moins, est solution^[1]. Mais cela ne suffit pas : à cette racine $r 1$ d'ordre $k$ doivent correspondre $k$ solutions indépendantes. Puisque $r 1$ est racine multiple d'ordre $k$ , l'équation différentielle peut être factorisée en^[1] :

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}-r_1\right)^ky=0.$

Le fait que $y_p(x)=c_1e^{r_1x}$ soit une solution permet de supposer que la solution générale peut être de la forme $y(x)=u(x)e^{r_1x}$ où $u$ est une fonction à déterminer.

En remplaçant $y$ par $ue^{r_1x}$ on obtient :

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}-r_1\right)ue^{r_1x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(ue^{r_1x})-r_1ue^{r_1x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(u)e^{r_1x}+r_1ue^{r_1x}-r_1ue^{r_1x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(u)e^{r_1x}.$

En appliquant ce fait $k$ fois, il s'ensuit que

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}-r_1\right)^kue^{r_1x}=\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}(u)e^{r_1x}.$

L'équation différentielle sur $y$ équivaut donc à l'équation différentielle suivante sur $u$ :

$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}(u)e^{r_1x}=0.$

En divisant par $e^{r_1x}$ , elle devient :

$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}(u)=u^{(k)}=0.$

Par conséquent, $u$ est solution si et seulement si^[4] c'est un polynôme de degré $k$ , soit

$u(x)=c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_kx^{k-1}.$

Puisque $y(x)=ue^{r_1x}$ , la partie de la solution générale correspondant à la racine $r 1$ est

$y_{R_1}(x)=e^{r_1x}(c_1+c_2x+\cdots+c_kx^{k-1}).$

Racines complexes

Si l'équation caractéristique a des racines complexes de la forme $r 1 = a + b i$ et $r 2 = a - b i$ , alors la solution générale est $y (x) = c 1 e (a + b i) x + c 2 e (a - b i) x$ .

Mais, en utilisant la formule d'Euler

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,~$

cette solution peut être écrite comme suit^[4] :

$\begin{align}y(x)&=c_1e^{(a+bi)x}+c_2e^{(a-bi)x}\\ &=c_1e^{ax}(\cos(bx)+i\sin(bx))+c_2e^{ax}(\cos(bx)-i\sin(bx))\\ &=(c_1+c_2)e^{ax}\cos(bx)+i(c_1-c_2)e^{ax}\sin(bx)\\ &=e^{ax}(d_1\cos(bx)+d_2\sin(bx))\end{align}$

en posant $d 1 = c 1 + c 2$ et $d 2 = i (c 1 - c 2)$ . Inversement, à partir de cette dernière expression de la solution générale, on retrouve l'expression initiale en posant $c 1 = (d 1 - i d 2) / 2$ et $c 2 = (d 1 + i d 2) / 2$ .

Dans ces deux expressions, $c 1, c 2$ et $d 1, d 2$ sont des constantes qui peuvent être complexes. Mais l'intérêt de la seconde expression est de fournir les fonctions à valeurs réelles solutions de l'équation différentielle, pour les valeurs réelles des constantes $d 1, d 2$ .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Characteristic equation (calculus) » (voir la liste des auteurs)

↑ ^{a, b, c, d, e, f et g} (en) C. Henry Edwards, David E. Penney et David Calvis, Differential Equations: Computing and Modeling, Upper Saddle River (New Jersey), Pearson Education (ISBN 978-0-13-600438-7), p. 156–170
↑ ^{a, b et c} (en) David Eugene Smith (en), « History of Modern Mathematics: Differential Equations », Université de Floride du Sud
↑ ^{a et b} (en) Herman Chu, Gaurav Shah et Tom Macall, « Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients », eFunda
↑ ^{a, b, c, d et e} (en) Abraham Cohen, An Elementary Treatise on Differential Equations, D. C. Heath and Company (en), 1906

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Équation caractéristique de Wikipédia en français (auteurs)

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