Espace separable

Espace separable: Espace séparable

En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dénombrable et dense, c'est-à-dire si l'on peut trouver un ensemble dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier.

Sommaire

1 Lien avec les espaces à base dénombrable

2 Exemples

2.1 L'ensemble des nombres réels

2.2 Espace métrique précompact

2.3 Espaces de Lebesgue

Lien avec les espaces à base dénombrable

Article détaillé : espace à base dénombrable.

Tout espace métrisable séparable est un espace à base dénombrable et a donc au plus la puissance du continu. Sont de ce type la plupart des espaces usuels. Être à base dénombrable est une propriété beaucoup plus forte, et bien plus intéressante, qu'être séparable.

L'hypothèse de séparabilité se retrouve abondamment dans les résultats d'analyse fonctionnelle.

Un sous-espace d'un espace séparable n'est pas en général séparable. Par contre, un sous-espace d'un espace à base dénombrable est encore à base dénombrable. A fortiori, par ce qui précède, un sous-espace d'un espace métrisable séparable est encore métrisable séparable. Mais il est possible de donner une démonstration directe de cette seconde assertion sans utiliser l'équivalence entre métrisable séparable et à base dénombrable.

Soit $X$ est un espace métrique séparable, et soit $A$ est un sous-espace de $X$ . On va construire une suite dense dans $A$ . Choisissons $(x_n)_{n\in\N}$ une suite dense dans $X$ , et supposons que la topologie de $X$ soit définie par une distance $d$ . Pour tous entiers $n$ et $m$ (avec $m$ non nul), fixons, s'il en existe, un point $a n, m$ de $A$ vérifiant $d(a_{n,m},x_n)<\frac 1m$ . Soit $a$ un point de $A$ , et soit $ε$ un nombre de l'intervalle $]0,1]$ . Par définition de la suite $(x_n)_{n\in\N}$ , il existe un entier $n$ suffisamment grand pour lequel on a $d(x_n,a)<\frac \epsilon 3$ . L'intervalle $\left]\frac 3 {2\epsilon},\frac 3 \epsilon\right[$ , de longueur supérieure à $\frac 3 2$ , contient au moins un nombre entier. Soit $m$ un entier de $\left]\frac 3 {2\epsilon},\frac 3 \epsilon\right[$ , on a $\frac 1 m \in \left]\frac \epsilon 3,\frac {2\epsilon} 3\right[$ . On a $d(x_n,a)<\frac \epsilon 3 < \frac 1 m$ . L'ensemble $\left\{y \in A / d(y,x_n)<\frac 1m \right\}$ est non vide (puisqu'il contient le point $a$ ), et contient donc bien un point $a n, m$ . Et on a alors : $d(a_{n,m},a)\le d(a_{n,m},x_n)+d(x_n,a)<\frac 1 m + \frac \epsilon 3 < \frac {2\epsilon} 3 + \frac \epsilon 3 = \epsilon$ .

La suite dénombrable $(a n, m)$ est donc bien dense dans $A$ .

Exemples

L'ensemble $\R$ des nombres réels

L'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels, muni de sa topologie usuelle, est séparable car $\mathbb{Q}$ y est dense et de cardinal dénombrable.

Espace métrique précompact

Tout espace métrique précompact est séparable.

Il existe de très gros espaces compacts non métrisables mais néanmoins séparables ; c'est le cas du compactifié de Stone-Cech de N qui a même puissance que l'ensemble des parties de R.

Espaces de Lebesgue

Pour $1 \le p < \infty$ , l'espace $L^p(\mathbb R)$ des fonctions dont la puissance p est intégrable, est séparable. Par contre, l'espace $L^\infty(\mathbb R)$ des fonctions essentiellement bornées ne l'est pas.

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Catégorie : Topologie générale

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