Espace separable

Espace separable: Espace séparable

En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dénombrable et dense, c'est-à-dire si l'on peut trouver un ensemble dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier.

Sommaire

1 Lien avec les espaces à base dénombrable

2 Exemples

2.1 L'ensemble des nombres réels

2.2 Espace métrique précompact

2.3 Espaces de Lebesgue

Lien avec les espaces à base dénombrable

Article détaillé : espace à base dénombrable.

Tout espace métrisable séparable est un espace à base dénombrable et a donc au plus la puissance du continu. Sont de ce type la plupart des espaces usuels. Être à base dénombrable est une propriété beaucoup plus forte, et bien plus intéressante, qu'être séparable.

L'hypothèse de séparabilité se retrouve abondamment dans les résultats d'analyse fonctionnelle.

Un sous-espace d'un espace séparable n'est pas en général séparable. Par contre, un sous-espace d'un espace à base dénombrable est encore à base dénombrable. A fortiori, par ce qui précède, un sous-espace d'un espace métrisable séparable est encore métrisable séparable. Mais il est possible de donner une démonstration directe de cette seconde assertion sans utiliser l'équivalence entre métrisable séparable et à base dénombrable.

Soit $X$ est un espace métrique séparable, et soit $A$ est un sous-espace de $X$ . On va construire une suite dense dans $A$ . Choisissons $(x_n)_{n\in\N}$ une suite dense dans $X$ , et supposons que la topologie de $X$ soit définie par une distance $d$ . Pour tous entiers $n$ et $m$ (avec $m$ non nul), fixons, s'il en existe, un point $a n, m$ de $A$ vérifiant $d(a_{n,m},x_n)<\frac 1m$ . Soit $a$ un point de $A$ , et soit $ε$ un nombre de l'intervalle $]0,1]$ . Par définition de la suite $(x_n)_{n\in\N}$ , il existe un entier $n$ suffisamment grand pour lequel on a $d(x_n,a)<\frac \epsilon 3$ . L'intervalle $\left]\frac 3 {2\epsilon},\frac 3 \epsilon\right[$ , de longueur supérieure à $\frac 3 2$ , contient au moins un nombre entier. Soit $m$ un entier de $\left]\frac 3 {2\epsilon},\frac 3 \epsilon\right[$ , on a $\frac 1 m \in \left]\frac \epsilon 3,\frac {2\epsilon} 3\right[$ . On a $d(x_n,a)<\frac \epsilon 3 < \frac 1 m$ . L'ensemble $\left\{y \in A / d(y,x_n)<\frac 1m \right\}$ est non vide (puisqu'il contient le point $a$ ), et contient donc bien un point $a n, m$ . Et on a alors : $d(a_{n,m},a)\le d(a_{n,m},x_n)+d(x_n,a)<\frac 1 m + \frac \epsilon 3 < \frac {2\epsilon} 3 + \frac \epsilon 3 = \epsilon$ .

La suite dénombrable $(a n, m)$ est donc bien dense dans $A$ .

Exemples

L'ensemble $\R$ des nombres réels

L'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels, muni de sa topologie usuelle, est séparable car $\mathbb{Q}$ y est dense et de cardinal dénombrable.

Espace métrique précompact

Tout espace métrique précompact est séparable.

Il existe de très gros espaces compacts non métrisables mais néanmoins séparables ; c'est le cas du compactifié de Stone-Cech de N qui a même puissance que l'ensemble des parties de R.

Espaces de Lebesgue

Pour $1 \le p < \infty$ , l'espace $L^p(\mathbb R)$ des fonctions dont la puissance p est intégrable, est séparable. Par contre, l'espace $L^\infty(\mathbb R)$ des fonctions essentiellement bornées ne l'est pas.

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Espace s%C3%A9parable ».

Catégorie : Topologie générale

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace separable de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

Espace Séparable — En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous ensemble dénombrable et dense, c est à dire si l on peut trouver un ensemble dénombrable de points dont l adhérence est égale à l… … Wikipédia en Français
Espace séparable — Ne pas confondre avec la structure d espace séparé. En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous ensemble fini ou dénombrable et dense, c est à dire contenant un… … Wikipédia en Français
Espace a base denombrable — Espace à base dénombrable Un espace topologique est dit à base dénombrable si sa topologie admet une base dénombrable. Tout sous espace d un espace à base dénombrable et tout produit dénombrable d espaces à base dénombrable sont eux mêmes à base… … Wikipédia en Français
Espace À Base Dénombrable — Un espace topologique est dit à base dénombrable si sa topologie admet une base dénombrable. Tout sous espace d un espace à base dénombrable et tout produit dénombrable d espaces à base dénombrable sont eux mêmes à base dénombrable ; d autre … Wikipédia en Français
Espace De Sobolev — Les espaces de Sobolev sont des espaces fonctionnels. Plus précisément, un espace de Sobolev est un espace vectoriel de fonctions muni de la norme obtenue par la combinaison de la norme norme Lp de la fonction elle même ainsi que de ses dérivées… … Wikipédia en Français
Espace de sobolev — Les espaces de Sobolev sont des espaces fonctionnels. Plus précisément, un espace de Sobolev est un espace vectoriel de fonctions muni de la norme obtenue par la combinaison de la norme norme Lp de la fonction elle même ainsi que de ses dérivées… … Wikipédia en Français
Espace séparé — Ne pas confondre avec la structure d espace séparable. Deux points admettant des voisinages disjoints. Somm … Wikipédia en Français
Espace à base dénombrable — Ne doit pas être confondu avec Espace à base dénombrable de voisinages (en). En mathématiques, plus précisément en topologie, un espace est dit à base dénombrable si sa topologie admet une base dénombrable. La pl … Wikipédia en Français
Séparable — Séparabilité Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sommaire 1 En mathématiques 2 En physique 2 … Wikipédia en Français
Espace complet — En mathématiques, un espace métrique M est dit complet ou espace complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est à dire qu elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Espace separable

Espace séparable

Sommaire

Lien avec les espaces à base dénombrable

Exemples

L'ensemble $\R$ des nombres réels

Espace métrique précompact

Espaces de Lebesgue

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Espace separable

Espace séparable

Sommaire

Lien avec les espaces à base dénombrable

Exemples

L'ensemble des nombres réels

Espace métrique précompact

Espaces de Lebesgue

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link

L'ensemble $\R$ des nombres réels