- Espace pseudométrique
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En mathématiques, un espace pseudométrique est un espace muni d'un écart. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique. Lorsqu'une topologie est définie par une famille d'écarts, l'espace est appelé espace uniforme.
Remarque : en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression espace semimétrique est utilisée comme synonyme d'espace pseudométrique, parce que toute semi-norme induit un écart. L'expression espace semimétrique peut par ailleurs avoir un sens différent.
Sommaire
Définition
Un espace pseudométrique est la donnée d'un ensemble X et d'une application positive à valeurs réelles , appelée fonction pseudométrique (ou écart), qui vérifie les trois relations suivantes :
- ;
- (symétrie) ;
- (inégalité triangulaire).
À la différence d'un espace métrique, les points d'un espace pseudométrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir d(x,y) = 0 pour des valeurs distinctes .
Exemples
Sur l'espace des fonctions à valeurs réelles , en choisissant un point , on peut définir un écart par :
Plus généralement, sur un espace vectoriel V, toute semi-norme p induit un écart d en posant :
- .
Réciproquement, tout écart invariant par translation et homogène induit une seminorme.
Propriétés topologiques
La topologie pseudométrique associée à un écart p est induite par l'ensemble des boules ouvertes :
qui forme une base de la topologie[1]. Un espace topologique est dit pseudométrisable s'il existe un écart dont la topologie pseudométrique associée coïncide avec celle de l'espace.
Identification métrique
En quotientant un espace pseudométrique par la relation d'équivalence d'annulation de l'écart, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit
- ,
et on obtient une distance d * sur en posant :
- .
La topologie de l'espace métrique (X * ,d * ) est la topologie quotient de celle de (X,d).
Références
- (en) Pseudometric topology de PlanetMath
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudometric space » (voir la liste des auteurs)
Bibliographie
- (en) L.A. Steen et J.A. Seebach Jr., Counterexamples in topology, 1970, Holt, Rinehart and Winston
- (en)/(ru) A.V. Arkhangelskii et L.S. Pontryagin, General Topology I, 1990, Springer-Verlag, Berlin (ISBN 978-3-540-18178-1)
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