Espace paracompact
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Un espace topologique est dit paracompact s'il est séparé, et si tout recouvrement ouvert admet un raffinement (ouvert) localement fini[1]. Cette définition a été introduite par le mathématicien français Jean Dieudonné. On rappelle qu'un recouvrement (Xi) d'un espace topologique X est dit localement fini si tout point de X possède un voisinage disjoint de presque tous les Xi, i.e. de tous sauf pour un ensemble fini d'indices i.
Pour un espace topologique localement compact et localement connexe (e.g. une variété de dimension finie), la paracompacité signifie que chaque composante connexe est σ-compacte.
Propriétés
Tout espace paracompact est normal[2].
Exemples
Tout espace compact est paracompact.
Le théorème de métrisabilité de Smirnov[3] affirme qu'un espace est métrisable si et seulement s'il est paracompact (donc séparé) et localement métrisable. En particulier, tout espace métrisable est paracompact, et toute variété paracompacte est métrisable.
Notes et références
- ↑ N. Bourbaki, Topologie générale, édition de 1971, chapitre I, page 69
- ↑ N. Bourbaki, Topologie générale, édition de 1971, chapitre IX, page 49
- ↑ Yu. M. Smirnov, A necessary and sufficient condition for metrizability of a topological space, Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S.), 77 (1951), 197-200
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