Espace localement connexe
- Espace localement connexe
-
Le « peigne »
(en) est connexe, mais pas localement connexe.
En mathématiques, plus précisément en topologie, un espace localement connexe est un espace topologique possédant une base d'ouverts dont chacun est connexe, c'est-à-dire intuitivement « fait d'une seule pièce ».
Définition équivalente
Un espace X est localement connexe si et seulement si pour tout point x de X,
- x possède un système fondamental de voisinages dont chacun est connexe (pour la topologie induite par la celle de X),
autrement dit,
- tout voisinage de x contient un voisinage connexe de x.
Propriétés
- Tout ouvert U d'un espace X localement connexe est encore localement connexe (puisqu'on obtient une base d'ouverts de U – pour la topologie induite par la celle de X – en sélectionnant, parmi les ouverts d'une base de X, ceux qui sont inclus dans U).
- Dans un espace localement connexe, les composantes connexes sont ouvertes (puisque pour tout point x d'une telle composante U, il existe un ouvert contenant x et connexe, donc inclus dans U).
- Tout espace où les composantes connexes de chaque ouvert sont ouvertes est connexe (puisque les ouverts connexes forment alors une base d'ouverts).
- La connexité locale n'est pas préservée par image continue.
Exemples
- Dans
muni de sa topologie usuelle, un exemple d'espace connexe qui n'est pas localement connexe est le « peigne » (figure ci-dessus). Un exemple de même nature est la partie 
: tout point de A possède dans A un voisinage connexe (à savoir A lui-même) mais ne possède pas forcément de base de voisinages connexes.
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace localement connexe de Wikipédia en français (auteurs)
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