Entrelacs et graphes

Entrelacs et graphes
Le triangle est associé avec le nœud de trèfle.

La théorie des nœuds et la théorie des graphes ont des rapports entre elles. Un entrelacs a l'air très compliqué mais est en fait codé par la structure simple de graphe planaire : des points (nommés sommets) reliés par des traits (nommés arêtes).

Sommaire

Diagramme de nœud

Une table de tous les nœuds premiers jusqu'à sept croisements, représentés comme des diagrammes alternés, avec leur graphe médial.
Quand le graphe médial est ajusté, il est facile de dessiner harmonieusement le nœud.

Un nœud ou entrelacs dans l'espace R3 peut être projeté sur le plan euclidien R2.

Cette projection est génériquement régulière, c'est-à-dire injective presque partout, à l'exception d'un nombre fini de points de croisements simples, où la projection envoie seulement 2 points de l'entrelacs au même endroit. De plus, les directions à ces deux points ne sont pas colinéaires si bien que les brins projetés pointent dans deux directions différentes du plan. Dans ces conditions, on indique quel brin est dessus et quel brin est dessous en interrompant le dessin. Un tel diagramme caractérise la classe d'isotopie de l'entrelacs.

En termes de théorie des graphes, un diagramme est simplement un graphe planaire de degré 4 (les sommets sont les croisements à quatre voisins) dont les sommets sont décorés par l'information des dessus-dessous.

Les mouvements de Reidemeister sont des modifications locales de ce graphe planaire décoré qui préservent la classe d'isotopie et permettent de passer de n'importe quelle projection à n'importe quelle autre.

Graphe médial

KnotCheckerboard.svg

Une autre interprétation des diagrammes d'entrelacs facilite la manipulation d'un entrelacs : La projection décompose le plan en composantes connexes, le graphe lui-même, de dimension 1, et une zone infinie et des composantes homéomorphes à un disque, de dimension 2.

On peut attacher une couleur, noire ou blanche à chacune de ces zones de dimension 2 de la manière suivante : peignez en noire la zone infinie et, à chaque croisement, peignez en noire la zone opposée au croisement. Le théorème de Jordan implique que ce processus est bien défini.

Le graphe planaire à arêtes signées associé à un nœud.
Guide +
Guide -

Vous définissez ensuite un graphe planaire dont les sommets sont au "centre" de chaque zone blanche, et dont les arêtes "passent au-dessus" de chaque croisement. L'information du dessus-dessous est codé par un signe +/- décorant chaque arête. On peut représenter ce signe par la convention d'un trait plein pour un signe + et d'un trait en pointillé pour le signe -. Il y a un choix global de signe, un changement de ce choix correspond à la réflexion dans un miroir.

Mouvements de Reidemeister

Les mouvements de Reidemeister peuvent être traduits en ces termes : deux graphes planaires à arêtes signées sont associés au même entrelacs si on peut passer de l'un à l'autre par une série de mouvements de Reidemeister.

Dessiner de beaux entrelacs

La méthode illustrée de gauche à droite : du graphe à l'entrelacs.

Vous pouvez utiliser cette correspondance entre diagrammes d'entrelacs et graphes planaires pour dessiner de beaux entrelacs, pour les coder d'une manière plus aisée à manipuler, ou pour les déformer, les comparer ou les mémoriser.

Nous allons maintenant expliquer comment passer de la donnée du graphe planaire à celle du diagramme.

Par exemple l'art celte utilise souvent des entrelacs alternés, codés par des graphes planaires n'utilisant qu'un seul signe, dont les brins passent donc alternativement dessus-dessous. La méthode pour dessiner un entrelacs du type celte est la suivante :

  • Dessinez un graphe planaire dont les arêtes sont approximativement de la même taille et d'angles ni trop obtus ni trop aigus.
  • Placez un croisement au milieu de chaque arête.
  • Connectez les brins entre eux en suivant une méthode tirée des labyrinthes (et que nous détaillons plus loin).
  • Faites ressortir les dessus-dessous.

Passons au détail de chaque étape :

Placez un croisement au milieu de chaque arête

KnotCrossesOnEdges.png

Cela peut sembler facile, mais il y a plusieurs façons de mal faire et une seule de bien faire : placez une croix de taille respectable, bien orientée, bien au milieu de chaque arête; pas d'un côté mais au milieu, pas à 90° mais à peu près 45°, les deux brins transverses entre eux et à l'arête et non pas tangents.

De cette manière, chaque brin pointe dans une direction bien définie.

Reliez les brins

un brin pointe dans une direction; suivez le mur dans cette direction...
...tournez au coin, suivez le mur, reliez vous.

Pour savoir où relier un brin, imaginez votre graphe comme un labyrinthe où les arêtes sont des murs, fermés exceptés au milieu, où le croisement a lieu. Prenez un brin; si vous l'avez bien dessiné, il pointe dans une direction; suivez le mur dans cette direction, tournez au coin, suivez le mur de l'arête suivante, jusqu'à arriver au croisement; là, un brin pointe dans votre direction, c'est là qu'il faut s'arrimer.

Une fois que vous avez compris le trajet d'un brin, vous pouvez reprendre sa trajectoire; mais méfiez vous, n'introduisez pas ne nouveaux croisements : Chaque croisement au milieu de son arête et à chaque milieu d'arête son croisement! Ne passez pas non plus au travers des murs : les brins ne traversent les arêtes qu'en leur milieu, quand ils se croisent!

Décodez les dessus-dessous

Maintenant, recopiez le guide + ci-dessus sur un papier volant, de la taille de vos arêtes. Alignez l'arête du guide avec l'arête de votre graphe, par exemple en le posant par dessus. Il vous indiquera, entre les deux brins, lequel passe dessus, lequel passe dessous. Traitez chaque croisement, dans l'ordre que vous voulez, jusqu'à ce que tous soient déterminés.

En dernier lieu, gonflez chaque brin. Petit conseil : les scribes irlandais coloriaient non pas l'entrelacs lui-même mais le fond seulement.

KnotStepByStep.gif

Liens externes

Sur les autres projets Wikimedia :

(fr)/(en)/(de) Tutoriel sur les entrelacs


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Entrelacs et graphes de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Art Celte — Symbole celte du Triskel Les Celtes n ayant laissé que très peu de traces écrites de leur civilisation, celle ci nous est avant tout connue grâce à leur art, largement redécouvert durant la deuxième moitié du XXe siècle …   Wikipédia en Français

  • Art celte — Torque en or de l époque hallstattienne. Les Celtes n ayant laissé que très peu de traces écrites de leur civilisation, celle ci nous est avant tout connue grâce à leur art, largement redécouvert durant la deuxième moitié du XXe siècle. L… …   Wikipédia en Français

  • Art celtique — Art celte Symbole celte du Triskel Les Celtes n ayant laissé que très peu de traces écrites de leur civilisation, celle ci nous est avant tout connue grâce à leur art, largement redécouvert durant la deuxième moitié du XXe siècle …   Wikipédia en Français

  • Art insulaire — Art celte Symbole celte du Triskel Les Celtes n ayant laissé que très peu de traces écrites de leur civilisation, celle ci nous est avant tout connue grâce à leur art, largement redécouvert durant la deuxième moitié du XXe siècle …   Wikipédia en Français

  • Théorie des nœuds — Pour les articles homonymes, voir nœud. illustration de la théorie des nœuds La théorie des nœuds est une branche de la topologie qui consiste e …   Wikipédia en Français

  • Theorie des noeuds — Théorie des nœuds Pour les articles homonymes, voir nœud. La théorie des nœuds est une branche de la topologie qui consiste en l étude mathématique de bouts de ficelles idéalisés. La théorie des nœuds est donc très proche de la théorie des… …   Wikipédia en Français

  • Theorie des nœuds — Théorie des nœuds Pour les articles homonymes, voir nœud. La théorie des nœuds est une branche de la topologie qui consiste en l étude mathématique de bouts de ficelles idéalisés. La théorie des nœuds est donc très proche de la théorie des… …   Wikipédia en Français

  • Théorie des noeuds — Théorie des nœuds Pour les articles homonymes, voir nœud. La théorie des nœuds est une branche de la topologie qui consiste en l étude mathématique de bouts de ficelles idéalisés. La théorie des nœuds est donc très proche de la théorie des… …   Wikipédia en Français

  • Nœud (mathématiques) — Une table de tous les nœuds premiers (en) ayant sept croisements  …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”