Décroissance exponentielle

La décharge d'un condensateur est une décroissance exponentielle.

Une quantité est dite sujette à une décroissance exponentielle si elle diminue à un taux proportionnel à sa valeur. Mathématiquement, cela peut être exprimé par l'équation différentielle suivante, avec N la quantité et λ un nombre positif appelé la « constante de décroissance » :

$\dfrac{dN \left( t \right) }{dt} = -\lambda N \left( t \right).$

La solution de cette équation est, en notant N₀ la valeur de N à l'instant t = 0 :

$N \left( t \right) = N_0 e^{-\lambda t}. \,$

Sommaire

1 Démonstration
2 Quantités dérivées
- 2.1 Durée de vie moyenne
- 2.2 Demi-vie
3 Utilisation
4 Voir aussi
- 4.1 Articles connexes

Démonstration

Remarque : si λ est négatif, on a plutôt croissance exponentielle du phénomène.

On part de la définition sous forme d'une équation différentielle :

$\dfrac{dN \left( t \right) }{dt} = -\lambda N \left( t \right)$

En séparant les variables, on obtient :

$\dfrac{dN \left( t \right) }{N \left( t \right)} = -\lambda dt.$

Alors, en intégrant entre l'instant initial et t :

$\int_{0}^{t} \dfrac{dN \left( t' \right) }{N \left( t' \right)} = \int_{0}^{t} -\lambda dt'$

Ce qui s'intègre en :

$ln \left[ N \left( t \right) \right] - ln \left[ N_0 \right] = - \lambda t$

Soit enfin :

$N \left( t \right) = N_0 e^{-\lambda t}$

Quantités dérivées

Durée de vie moyenne

Si on considère que la quantité N qui décroît est discrète, c'est-à-dire que N mesure le nombre d'élément d'un ensemble, alors on peut donner une expression de la durée de vie moyenne d'un élément dans cet ensemble :

$\tau = \dfrac{1}{\lambda}$

On l'appelle aussi « constante de temps ». N vérifie alors :

$N(t) = N_0 e^{-t/\tau} \,$

Demi-vie

Il est plus courant de faire usage de la demi-vie d'un système à décroissance radioactive, qui correspond à la durée au bout de laquelle la quantité N est divisée par 2. On note souvent cette durée $t 1 / 2$ . Elle est reliée à la constante de décroissance et à la constante de temps par les relations :

$t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} = \tau \ln 2$

On peut également remplacer l'exponentielle de l'expression de la demi-vie pour obtenir :

$N(t) = N_0 2^{-t/t_{1/2}} \,$

Utilisation

En physique, la décroissance exponentielle est caractéristique des phénomènes sans vieillissement, c'est-à-dire qui se produisent avec une égale probabilité quelle ait été leur durée de vie, par exemple dans le suivi de la désintégration radioactive. On retrouve cette décroissance à travers de nombreuses observations physiques comme par exemple dans les variations de pression entre deux contenants ou la décharge électrique d'un condensateur.

En biologie, une telle décroissance peut modéliser l'élimination d'un produit dans le sang, au cours du temps.

Voir aussi

Articles connexes

v · Nombre e
Applications	Intérêts composés · Identité d'Euler · Formule d'Euler · Demi-vie · Croissance exponentielle · Décroissance exponentielle
Définitions	Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème d'Hermite-Lindemann
Personnes	John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Décroissance exponentielle de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

Decroissance exponentielle — Décroissance exponentielle La décharge d un condensateur est une décroissance exponentielle. Article d une série sur … Wikipédia en Français
Décroissance Exponentielle — La décharge d un condensateur est une décroissance exponentielle. Article d une série sur … Wikipédia en Français
décroissance — [ dekrwasɑ̃s ] n. f. • 1260; de décroître, d apr. croissance ♦ État de ce qui décroît. ⇒ déclin , diminution. La décroissance de la natalité. ⊗ CONTR. Croissance. ● décroissance nom féminin Action de décroître ; diminution en hauteur, en volume,… … Encyclopédie Universelle
Decroissance — Décroissance Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom … Wikipédia en Français
Decroissance radioactive — Décroissance radioactive La décroissance radioactive est la réduction du nombre de noyaux radioactifs (instables) dans un échantillon. La décroissance radioactive se produit jusqu à ce que tous les noyaux de l échantillon soient stables. Un… … Wikipédia en Français
Décroissance Radioactive — La décroissance radioactive est la réduction du nombre de noyaux radioactifs (instables) dans un échantillon. La décroissance radioactive se produit jusqu à ce que tous les noyaux de l échantillon soient stables. Un radionucléide quelconque a… … Wikipédia en Français
Exponentielle de base a — Représentation graphique de la fonction exponentielle de base e (en noir), de base 10 (en rouge) et de base 1/2 (en bleu) En analyse réelle, la fonction exponentielle de base a est la fonction notée qui, à tout réel , associe le réel … Wikipédia en Français
Décroissance radioactive — La décroissance radioactive est la réduction du nombre de noyaux radioactifs (instables) dans un échantillon. La décroissance radioactive se produit jusqu à ce que tous les noyaux de l échantillon soient stables. Un radionucléide quelconque a… … Wikipédia en Français
Décroissance — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Décroissance », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) En mathématique, la décroissance… … Wikipédia en Français
Exponentielle — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. L adjectif et le nom exponentielle peuvent renvoyer à La fonction exponentielle, exp(x)=ex; L exponentielle de base a, expa(x)=ax; La croissance… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Décroissance exponentielle

Sommaire

Démonstration