Dilemme du prisonnier

Le dilemme du prisonnier est un exemple célèbre de la théorie des jeux caractérisant les situations où deux joueurs auraient intérêt à coopérer, mais où les incitations à trahir l'autre sont si fortes que la coopération n'est jamais sélectionnée par un joueur rationnel lorsque le jeu n'est joué qu'une fois. Il illustre ainsi que les concepts d'équilibre de la théorie des jeux ne conduisent pas nécessairement à des allocations qui seraient pourtant préférées par tous les joueurs.

Sous sa forme répétée, c'est-à-dire lorsque le jeu est joué plusieurs fois de suite, il sert d'illustration au folk theorem voulant que toutes les issues du jeu peuvent être des équilibres d'un jeu répété un assez grand nombre de fois.

Du fait de la grande généralité de la situation décrite, le dilemme du prisonnier a été appliqué, sous une forme formelle ou plus discursive, dans un grand nombre de domaines, comme l'économie, la biologie, la politique internationale ou la psychologie.

Il fait partie des jeux couramment employés en économie expérimentale pour tester l'existence de comportements obéissant à la rationalité économique et la capacité des individus à identifier l'équilibre de Nash d'un jeu.

Sommaire 1 Principe 2 Dilemme du prisonnier classique 2.1 Formulation 2.2 Exemples de situations réelles 2.2.1 Économie 2.2.2 Écologie 2.2.3 Politique internationale 2.2.4 Sociologie et anthropologie 2.2.5 Psychologie 2.2.6 Cas de résolution du dilemme 2.2.7 Limites des applications 3 Le dilemme répété 4 Variantes 4.1 Le jeu de la Poule-mouillée 4.2 Ami ou ennemi 5 Voir aussi 5.1 Bibliographie 6 Notes et références 6.1 Articles connexes 6.2 Liens externes

Principe

La forme habituelle de ce dilemme est celle de deux prisonniers (complices d'un délit) retenus dans des cellules séparées et qui ne peuvent communiquer.

• si un des deux prisonniers dénonce l'autre, il est remis en liberté alors que le second obtient la peine maximale (10 ans) ;
• si les deux se dénoncent entre eux, ils seront condamnés à une peine plus légère (5 ans) ;
• si les deux refusent de dénoncer, la peine sera minimale (6 mois), faute d'éléments au dossier.

Ce problème modélise bien les questions de politique tarifaire : le concurrent qui baisse ses prix gagne des parts de marché et peut ainsi augmenter ses ventes et accroître éventuellement son bénéfice… mais si son concurrent principal en fait autant, les deux peuvent y perdre.

L'équilibre de Nash pour ce type de jeu ne conduit pas à un optimum de Pareto (c'est-à-dire un état dans lequel on ne peut pas améliorer le bien-être d’un individu sans détériorer celui d’un autre). À l'équilibre, chacun des prisonniers choisit de faire défaut même s'ils gagnaient à coopérer. Malheureusement pour les prisonniers, chacun est incité à tricher après avoir fait la promesse de coopérer. C'est le cœur du dilemme.

Ceci est cependant sensiblement différent d'une situation de marché libre où les deux agents économiques « prisonniers » peuvent coopérer pour atteindre un optimum de Pareto (parce que l'optimum vu par les producteurs ne va pas toujours dans l'intérêt du consommateur, les lois antitrust de tous les pays interdisent, officiellement du moins, les ententes entre producteurs concurrents).

Dans un jeu du dilemme du prisonnier répété, chaque joueur a l'opportunité de « punir » l'autre joueur pour sa précédente non-coopération. La coopération peut donc survenir dans cette configuration. L'incitation à tricher est inférieure à la menace de punition, ce qui introduit la possibilité de coopérer.

Le dilemme du prisonnier est utilisé par les économistes, les mathématiciens, les psychologues, les biologistes et les spécialistes de science politique. Le paradigme correspondant est également mentionné en philosophie et dans le domaine des sciences cognitives.

Dilemme du prisonnier classique

Formulation

La première expérience du dilemme du prisonnier a été réalisée en 1950 par Melvin Dresher et Merill Flood, qui travaillaient alors pour la RAND Corporation. Par la suite, Albert W. Tucker la présenta sous la forme d'une histoire :

Deux suspects sont arrêtés par la police. Mais les agents n'ont pas assez de preuves pour les inculper, donc ils les interrogent séparément en leur faisant la même offre. « Si tu dénonces ton complice et qu'il ne te dénonce pas, tu seras remis en liberté et l'autre écopera de 10 ans de prison. Si tu le dénonces et lui aussi, vous écoperez tous les deux de 5 ans de prison. Si personne ne se dénonce, vous aurez tous deux 6 mois de prison. »

On résume souvent les utilités de chacun dans ce tableau :

1 \ 2	Se tait	Dénonce
Se tait	(-1/2;-1/2)	(-10;0)
Dénonce	(0;-10)	(-5;-5)

Chacun des prisonniers réfléchit de son côté en considérant les deux cas possibles de réaction de son complice.

• « Dans le cas où il me dénoncerait :
  • Si je me tais, je ferai 10 ans de prison ;
  • Mais si je le dénonce, je ne ferai que 5 ans. »
• « Dans le cas où il ne me dénoncerait pas :
  • Si je me tais, je ferai 6 mois de prison ;
  • Mais si je le dénonce, je serai libre. »

« Quel que soit son choix, j'ai donc intérêt à le dénoncer. »

Si chacun des complices fait ce raisonnement, les deux vont probablement choisir de se dénoncer mutuellement, ce choix étant le plus empreint de rationalité. Conformément à l'énoncé, ils écoperont dès lors de 5 ans de prison chacun. Or, s'ils étaient tous deux restés silencieux, ils n'auraient écopé que de 6 mois chacun. Ainsi, lorsque chacun poursuit son intérêt individuel, le résultat obtenu n'est pas optimal au sens de Vilfredo Pareto.

Ce jeu est à somme non nulle, c'est-à-dire que la somme des gains pour les participants n'est pas toujours la même : il soulève une question de coopération.

Pour qu'il y ait dilemme, la tentation T (je le dénonce, il se tait) doit payer plus que la coopération R (on se tait tous les deux), qui doit rapporter plus que la punition pour égoïsme P (je le dénonce, il me dénonce), qui doit être plus valorisante que la duperie S (je me tais, il me dénonce). Ceci est formalisé par :

T > R > P > S (ici : 0 > -0,5 > -5 > -10)

Pour qu'une collaboration puisse naître dans un dilemme répété (ou itératif) (voir plus bas), 2 coups de coopération R doit être plus valorisant que l'alternat Tentation / Dupe. Ce qui fait la condition 2R > T+S [ici : 2*-0,5 > 0 + (-10)].

Exemples de situations réelles

Le dilemme du prisonnier fournit un cadre général pour penser les situations où deux ou plusieurs acteurs ont un intérêt à coopérer, mais un intérêt encore plus fort à ne pas le faire si l'autre le fait, et aucun moyen de contraindre l'autre. Les exemples suivants permettront de mieux cerner la diversité des applications possibles et la grande généralité du cadre du dilemme du prisonnier.

Économie

Un exemple canonique est le cas de deux entreprises qui n'ont pas le droit de s'entendre sur une politique commerciale commune (ce que le droit antitrust des États-Unis et le droit français et européen interdisent) et qui se demandent s'il leur faut procéder ou non à une baisse de prix pour conquérir des parts de marché aux dépens de leur concurrent. Si tous deux baissent leur prix, ils seront généralement tous deux perdants par rapport au statu quo^[1]. On peut aussi évoquer à ce propos les biens collectifs (dont tout le monde veut bénéficier, tout en voulant les faire financer par les autres), le cas des quotas textiles destinés à éviter une chute des prix mais que chacun cherche à contourner, ou les campagnes publicitaires coûteuses pour le même bien qui se neutralisent^[2].

Le dilemme du prisonnier est souvent donné comme exemple argumentatif pour soutenir que la libre concurrence ne conduit pas forcément au résultat optimal au sens de Pareto, ni même maximisant la somme des gains de tous les joueurs^{[réf. nécessaire]}.

Écologie

La théorie des jeux, et le dilemme du prisonnier en particulier, sont fréquemment utilisés en écologie pour modéliser l'évolution des comportements entre individus d'une même espèce vers des stratégies évolutivement stables. L'apparition et le maintien des comportements de coopération par exemple, se prêtent à ce type d'analyse. Richard Dawkins en a fait l'un des points centraux de sa théorie du gène égoïste, puisque l'optimisation de la survie peut passer par un comportement apparemment altruiste^{[réf. nécessaire]}.

Politique internationale

Soit deux pays A et B. Les pays A et B peuvent choisir de maintenir ou non une armée. Si tous deux ont une armée (de force à peu près équivalente), la guerre est moins "tentante", car très coûteuse (situation de la guerre froide). Les dépenses militaires sont alors une perte nette pour les deux pays. Si un seul a une armée, il peut évidemment conquérir sans coup férir l'autre, ce qui est pire. Enfin, si aucun n'a d'armée, la paix règne et les pays n'ont pas de dépenses militaires. La situation de coopération permettant à chacun de ne pas avoir d'armée est évidemment préférable à la situation où les deux pays entretiennent une armée, mais elle est instable : chacun des deux pays a une forte incitation à se doter unilatéralement d'une armée pour envahir l'autre^[3].

Sociologie et anthropologie

Les sciences humaines ont également adopté le cadre conceptuel du dilemme du prisonnier pour parler de situations bloquées dans un état défavorable par la difficulté à coordonner les actions des différents agents ou à vérifier (et éventuellement punir) les déviances égoïstes. Ce cadre a ainsi été utilisé par les sociologues pour expliquer la lenteur de l'adoption des semences à haut rendement dans le monde agricole français dans les années 1960. L'ensemble des agriculteurs auraient eu intérêt à adopter ces variétés, mais la pression sociale s'exerçant sur ceux qui tentaient l'expérience dissuadait de nombreux agriculteurs^{[réf. nécessaire]}.

Psychologie

Le dilemme du prisonnier se rencontre fréquemment dans les relations de couple. Prenons ainsi l'exemple d'un couple marié en état de conflit, chacun des partenaires ayant eu une aventure extra-conjugale à l'insu de l'autre. Chacun des deux voudrait pouvoir avouer sa faute et se réconcilier (coopération). Cependant, chacun des deux craint le mépris de l'autre s'il est le seul à avoir fauté, et préfère l'état de conflit^{[travail inédit ?]}.

Cas de résolution du dilemme

Dans un très grand nombre de situations réelles, les espèces vivantes qui en sont capables mettent au point des processus de socialisation permettant de résoudre le dilemme du prisonnier, c'est-à-dire de rendre stable la stratégie coopérative, qui est optimale. Il y a deux façons d'obtenir ce résultat : La première possibilité est la mise en place d'une mémorisation des protagonistes et de leurs comportements, afin de se situer dans le cas du dilemme répété (qui n'est plus un dilemme). La seconde solution est d'établir un code de conduite au sein de la société, associé à des sanctions pour les contrevenants. De cette façon, la trahison, si elle est plus lourdement sanctionnée que ce qu'elle rapporte, devient moins avantageuse que la coopération. L'espèce humaine a développé une faculté très importante à mettre en œuvre ces deux systèmes de résolution du dilemme du prisonnier, par ses capacités de mémoire et de sympathie, et par un système judiciaire et répressif très sophistiqué. Ainsi, la démocratie constitue l'un des moyens les plus avancés qu'a mis au point l'espèce humaine pour résoudre le dilemme du prisonnier à grande échelle. ^{[réf. nécessaire]}

Dans la vie courante le paradoxe est généralement levé en utilisant la notion de réputation qui permet de prendre une décision en évaluant a priori les risques de coopérer avec quelqu'un. Chacun a intérêt à entretenir cette bonne réputation pour que les autres acceptent de coopérer avec lui.

Limites des applications

Les protagonistes du dilemme dans sa forme classique n'ont le choix qu'entre deux attitudes : coopérer ou ne pas coopérer. Cette dichotomie est manifestement très artificielle. En réalité, tous les degrés existent entre ces deux termes, rendant l'application de ce dilemme beaucoup plus délicate. Cependant cette forme a un but pédagogique et la structure éclaire des versions plus complexes ou plus réalistes (la concurrence à la Cournot par exemple).

Il s'agit d'un modèle à deux protagonistes restant isolés jusqu'à l'annonce des résultats de la transaction. Dans la vie réelle, trois individus ou plus peuvent interagir ce qui complexifie notablement le choix entre la coopération et la non-coopération. Cependant les phénomènes de passager clandestin (le free-riding des anglophones) dont l'existence ne fait pas de doute montrent eux aussi la force de l'exemple.

Le dilemme répété

Dans son livre The Evolution of Cooperation (L'évolution de la coopération, 1984), Robert Axelrod étudie une extension classique de ce dilemme : le jeu se répète, et les participants gardent en mémoire les précédentes rencontres. Cette version du jeu est également appelée dilemme itératif du prisonnier. Il donne une autre illustration à partir d'une situation équivalente : deux personnes échangent des sacs, censés contenir respectivement de l'argent et un bien. Chacun a un intérêt immédiat à passer un sac vide, mais il est plus avantageux pour les deux que la transaction ait lieu.

Quand on répète ce jeu durablement dans une population, les joueurs qui adoptent une stratégie intéressée y perdent au long terme, alors que les joueurs apparemment plus désintéressés voient leur « altruisme » finalement récompensé : le dilemme du prisonnier n'est donc plus à proprement parler un dilemme. Axelrod y a vu une explication de l'apparition d'un comportement altruiste dans un contexte d'évolution darwinienne par sélection naturelle.

La meilleure stratégie dans un contexte déterministe « œil pour œil » (« Tit for Tat », une autre traduction courante étant « donnant-donnant ») a été conçue par Anatol Rapoport pour un concours informatisé. Son exceptionnelle simplicité a eu raison des autres propositions. Elle consiste à coopérer au premier coup, puis à reproduire à chaque fois le comportement de l'adversaire du coup précédent. Une variante, « œil pour œil avec pardon », s'est révélée un peu plus efficace : en cas de défection de l'adversaire, on coopère parfois (de 1 à 5 %) au coup suivant. Cela permet d'éviter de rester bloqué dans un cycle négatif. Le meilleur réglage dépend des autres participants. En particulier, « œil pour œil avec pardon » est plus efficace si la communication est brouillée, c'est-à-dire s'il arrive qu'un autre participant interprète à tort un coup.

Pour le dilemme du prisonnier, il n'existe pas de stratégie toujours optimale. Si, par exemple, toute la population fait systématiquement défaut sauf un individu qui respecte « œil pour œil », alors ce dernier a un désavantage au premier coup. Face à une unanimité de défaut, la meilleure stratégie est de toujours trahir aussi. S'il y a une part de traîtres systématiques et « d'œil pour œil », la stratégie optimale dépend de la proportion et de la durée du jeu. En faisant disparaître les individus qui n'obtiennent pas de bons totaux et en faisant se dupliquer ceux qui mènent, on peut étudier des dynamiques intéressantes. La répartition finale dépend de la population initiale.

Si le nombre N d'itérations est fini et connu, l'équilibre de Nash est de systématiquement faire défaut, comme pour N=1. Cela se montre simplement par récurrence :

• au dernier coup, sans sanction possible de la part de l'adversaire, on a intérêt à trahir ;
• ce faisant, à l'avant-dernier coup, comme on anticipe que l'adversaire trahira quoi qu'il arrive au coup suivant, il vaut mieux trahir aussi ;
• on poursuit le raisonnement jusqu'à refuser de coopérer à tous les coups.

Pour que la coopération reste intéressante, le futur doit donc rester incertain pour tous les participants -- une solution possible est de tirer un N aléatoire.

La situation est aussi étonnante si l'on joue indéfiniment au dilemme du prisonnier, le score étant la moyenne des scores obtenus (calculée de manière appropriée).

Le dilemme du prisonnier est la base de certaines théories de la coopération humaine et de la confiance. Si l'on assimile les situations de transactions qui réclament de la confiance à un dilemme du prisonnier, un comportement de coopération dans une population peut être modélisé comme un jeu entre plusieurs joueurs, répété - d'où la fascination de nombreux universitaires depuis longtemps : en 1975, Grofman et Pool estimaient déjà à plus de 2000 les articles scientifiques sur le sujet.

Ces travaux fournissent une base modélisable, quantitative, pour l'étude scientifique des lois morales.

Axelrod donne dans son ouvrage Comment réussir dans un monde égoïste un exemple de stratégie œil pour œil dans le cadre du dilemme du prisonnier itératif : durant la guerre des tranchées, les combattants des deux camps, et ce, contre l'avis du commandement, appliquaient le principe vivre et laisser-vivre. Les protagonistes ne déclenchaient ainsi jamais en premier les hostilités mais répliquaient fortement à toute agression.

Variantes

Il existe des variantes de ce jeu qui, en modifiant légèrement les gains, aboutissent à des conclusions très différentes :

Le jeu de la Poule-mouillée

La poule-mouillée est un autre jeu à somme non-nulle, où la coopération est récompensée. Ce jeu est similaire au dilemme du prisonnier en ce qu'il est avantageux de trahir lorsque l'autre coopère. Mais il en diffère en ce qu'il est avantageux de coopérer si l'autre trahit : la défection double est la pire des solutions -- donc un équilibre instable -- alors que dans le dilemme du prisonnier il est toujours avantageux de trahir, ce qui rendait l'équilibre de double défection stable. La double coopération est dans les deux jeux un équilibre instable.

Une matrice des gains ressemble à :

• si les deux coopèrent, ils reçoivent +5 ;
• si l'un coopère alors que l'autre se défausse, alors le premier obtient +1 et l'autre +10 ;
• si les deux font défaut, ils touchent -20.

1 \ 2	Coopère	Trahit
Coopère	(+5;+5)	(+1;+10)
Trahit	(+10;+1)	(-20;-20)

L'appellation « Poule-mouillée » est tirée du « jeu » automobile :

• Deux voitures se lancent l'une vers l'autre, prêtes à se rentrer dedans. Chaque joueur peut dévier et éviter la catastrophe (coopération) ou garder le cap au risque de la collision (défection).

Il est avantageux d'apparaître comme un « dur » qui ne renoncera pas et d'intimider l'adversaire… tant qu'on parvient à rester en jeu.

On trouve des exemples concrets dans beaucoup de situations quotidiennes : l'entretien de la maison commune à un couple, par exemple, ou l'entretien d'un système d'irrigation entre deux fermiers. Chacun peut l'entretenir seul, mais ils en profitent tous les deux autant. Si l'un d'entre eux n'assure pas sa part d'entretien, l'autre a toujours intérêt à le faire à sa place, pour continuer à arroser. Par conséquent, si l'un parvient à établir une réputation d'indélicat dominant - c'est-à-dire si l'habitude est prise que ce soit toujours l'autre qui s'occupe de l'entretien - il sera susceptible de maintenir cette situation.

Cet exemple peut également s'appliquer en politique internationale, dans la situation où deux États entretiennent un différend qui est susceptible de déboucher sur une guerre. Passer pour une poule mouillée est une garantie d'être ultérieurement confronté à nouveau à la même situation (comme la France et la Grande-Bretagne le constatèrent avant 1939), mais maintenir une réputation suppose une dépense (entretien militaire) et des risques (guerre toujours possible).

Ami ou ennemi

« Ami ou ennemi » (« Friend or Foe ») est un jeu actuellement diffusé sur une chaîne câblée aux États-Unis (Game Show Network). C'est un exemple de dilemme du prisonnier testé sur des particuliers dans un cadre artificiel. Sur le plateau, trois paires de participants s'affrontent. Quand une paire est éliminée, ses deux membres se répartissent leurs gains selon un dilemme du prisonnier. Si les deux coopèrent (« Friend »), ils partagent équitablement la somme accumulée au cours du jeu. Si aucun ne coopère (« Foe »), ils se quittent sans rien. S'il l'un coopère et que l'autre fait défaut, le premier part les mains vides et l'autre remporte le tout. La situation est un peu différente de la matrice canonique plus haut : le gain est le même pour qui voit sa confiance trahie ou qui emporte l'autre dans sa perte. Si un joueur sait que l'autre le trahira, sa réponse lui est indifférente. L'équilibre non coopératif est donc neutre, alors qu'il est stable dans le cas habituel. La matrice à considérer est donc :

• si les deux coopèrent, chacun obtient 50% ;
• si les deux font défaut, ils en tirent 0% ;
• si l'un coopère et que l'autre le trahit, le premier reçoit 0% et l'autre 100%.

Joueur 1 ; Joueur 2	Coopère	Trahit
Coopère	(50%;50%)	(0%;100%)
Trahit	(100%;0%)	(0%;0%)

L'économiste John List a étudié le comportement des joueurs dans ce jeu pour tester les prédictions de la théorie des jeux dans un contexte réel. Les joueurs collaborent dans 50 % des cas mais on note des différences de comportement selon les caractéristiques socio-démographiques des joueurs. Par exemple, les hommes coopèrent moins souvent que les femmes. En revanche, il ressort de l'étude que les joueurs adaptent assez peu leur comportement à leur partenaire^[4].

Voir aussi

Bibliographie

• Robert Axelrod, "Donnant donnant" - Une théorie du comportement coopératif (traduit aux éditions Odile Jacob 1992)
• Robert Axelrod, The Evolution of Cooperation, 1984 ;
• Grofman et Pool, Bayesian Models for Iterated Prisoner's Dilemma Games. General Systems, 1975 ;
• John F. Nash, Non-Cooperative Games, in Annals of Mathematics, vol.54, 1951, p. 289-295 ;
• William Poundstone, Prisoner's Dilemma: John von Neumann, Game Theory and the Puzzle of the Bomb, Doubleday, 1992. ISBN 978-0-385-41567-5. Une introduction large et tout-public, comme l'indique le sous-titre.
• Nicolas Eber, Le dilemme du prisonnier, La Découverte, collection Repères, juin 2006. Un état des lieux des recherches et avancées les plus récentes sur le dilemme du prisonnier et ses généralisations (jeu du bien public, jeu de la ressource commune, jeux de confiance). Ce tout petit livre permet à des non spécialistes de découvrir un puissant outil d'analyse de la coopération, de la confiance, de la loyauté, et donc du lien social.
• Serge Aron, Luc Passera, Les sociétés animales, De Boeck, 2000. L'évolution de la coopération et de l'organisation des sociétés animales, analysées à l'aide du dilemme du prisonnier, entre autres outils. Une référence ; pointu mais très accessible.
• Jean-Pierre Dupuy, "Logique des phénomènes collectifs" (introduction aux sciences sociales), édition Ellipse 1992.
• (en) James D. Miller, Game Theory at work : How to Use Game Theory to Outthink and Outmaneuver your Competition, New York, Mcgraw-Hill, 13 mars 2003, 288 p. (ISBN 978-0071400206), chap. 7 (« Prisonner's dilemna »), p. 118-120 

Notes et références

Articles connexes

• Théorie des jeux
• Problème des marchands de glaces
• Jeu à somme non nulle et jeu à somme nulle
• Le problème du Rendez-vous et ses variantes (« Le match ou le concert », etc.), une autre classe de problèmes de coordination (donc à somme non nulle)
• L'équilibre de Nash ou équilibre stable au sens de John Forbes Nash
• La définition d'une stratégie évolutionnairement stable dans le cadre d'un jeu répété.
• Autorégulation
• Paradoxe de Newcomb

Liens externes

• (fr) Jouer au dilemme du prisonnier en ligne
• (fr) Comprendre les comportements dans le dilemme du prisonnier
• (en) Le dilemme du prisonnier géométrique

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