Dallages

Dallages

Pavage

Pavage hexagonal dun sol.

Un pavage (ou dallage) est une partition dun espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou lespace tridimensionnel) par un ensemble fini déléments appelés tuiles (plus précisément, ce sont des compacts dintérieur non vide). Généralement, on considère des pavages par translations, cest-à-dire que deux mêmes tuiles du pavage sont toujours déductibles lune de lautre par une translation (à lexclusion des rotations ou symétries). Il existe aussi des pavages despaces non euclidien, les plus célèbres étant sans doute les nombreux pavages de M.C. Escher (pavages despaces hyperboliques).

Sommaire

Pavages périodiques

Les pavages périodiques du plan ou de lespace sont connus depuis lantiquité et ont souvent été utilisés comme motifs décoratifs en architecture.

En cristallographie, ces pavages modélisent les arrangements périodiques datomes (cristaux). En 1891, le cristallographe et mathématicien russe Fedorov (Université de Saint-Petersbourg) a montré quil existait seulement 17 types de groupes cristallographiques du plan (groupes disométries contenant un sous-groupe discret bidimensionnel de translations).

Par la suite, Heinrich Heesch a montré en 1968[1] quil existait 28 types de pavés (ou tuiles). Toutefois, cette classification peut être améliorée car certains des 28 types sont cas particuliers dautres.

En fait, à chacun des groupes cristallographiques, à deux exceptions près, correspond un seul type de pavé. A chacune de ces exceptions, (pg et pgg), sont associés 2 types de pavés. Au total, il existe donc 19 types de pavés pour les pavages périodiques du plan.

Plusieurs de ces types, peuvent être réalisés par des pavages dont les pavés sont toutes des polygones réguliers. LAlhambra de Grenade contient des mosaïques illustrant presque tous les types de pavages.

Pavages apériodiques

Les mathématiciens ont longtemps pensé que les seuls pavages par translations du plan étaient nécessairement périodiques.

Notamment, Hao Wang a conjecturé en 1961 que cétait le cas, et en a déduit quon pouvait concevoir un programme informatique qui déciderait si un jeu de tuiles donné permettait de paver ou non le plan. Cependant, en 1964, Robert Berger (un élève de Wang) a trouvé un ensemble de 20 426 tuiles ne pouvant paver quapériodiquement le plan. La conjecture est donc fausse : savoir si un jeu de tuiles peut paver ou non le plan est indécidable.

Des jeux toujours plus petits de tuiles ne pavant quapériodiquement ont depuis été trouvés :

  • en 1976, Raphael Robinson simplifie le jeu de tuiles de Robert Berger en un jeu de 24 tuiles (6 à rotation près) ;
  • en 1974, Roger Penrose, trouve un jeu de 20 tuiles (2 à rotation près) donnant le pavage de Penrose ;
  • en 1996, Karel Culik et Jarkko Kari ont trouvé (par une méthode complètement différente) un jeu de 13 tuiles.

En 1994, John Horton Conway et Charles Radin ont trouvé un jeu comportant une infinité de tuiles mais qui, à rotation près, se réduit à une unique tuile : un triangle rectangle de côtés 1, 2 et  \sqrt 5. Le pavage obtenu est connu sous le nom de Pinwheel.

Pavages quasipériodiques

Parmi les pavages apériodiques, certains le sont moins que dautresen dautres termes, on peut quantifier le degré dapériodicité.

Dans cette voie, on peut citer par exemple les notions de récurrence et de récurrence uniforme (ou quasipériodicité).

Un pavage est dit récurrent si, quand un motif (ensemble fini de tuiles) apparaît une fois, il apparaît dans nimporte quelle zone suffisamment grande. Si, de plus, on peut fixer la taille de cette zone en fonction de la taille du motif, alors le pavage est dit uniformément récurrent (ou quasipériodique).

Ainsi, un pavage uniformément récurrent du plan est tel que si on considère nimporte quel un motif apparaissant dans un cercle de rayon r tracé sur le pavage, alors il existe un nombre R tel quon puisse être sûr que ce motif réapparaisse dans nimporte quel cercle de rayon R tracé sur le pavage.

En particulier, les pavages périodiques sont uniformément récurrents (a fortiori récurrents). Cest aussi le cas du pavage de Penrose. En fait, on peut montrer que si un jeu de tuile pave le plan, alors il peut aussi le paver de manière uniformément récurrente (la preuve repose sur un argument diagonal).

Notes et références

  1. (de)Reguläres Parkettierungsproblem. Arbeitsgemeinschaft Forsch. Nordrhein-Westfalen Heft 172, 96S.

Voir aussi

Commons-logo.svg

Bibliographie

  • Tangente no 99 : « Lart des pavages » (juillet-août 2004).

Articles connexes

Liens externes

  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « Pavage ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Dallages de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Béton — Cet article possède des paronymes, voir : Beton et Betton. Un mètre cub …   Wikipédia en Français

  • Béton Renforcé — Béton Un mètre cube de béton (représentant la production et « consommation » mondiale annuelle de béton par habitant) Béton est un terme générique qui désigne un matériau de construction composite fabriqué à partir de granulats (sable,… …   Wikipédia en Français

  • Béton hydraulique — Béton Un mètre cube de béton (représentant la production et « consommation » mondiale annuelle de béton par habitant) Béton est un terme générique qui désigne un matériau de construction composite fabriqué à partir de granulats (sable,… …   Wikipédia en Français

  • Béton précontraint — Béton Un mètre cube de béton (représentant la production et « consommation » mondiale annuelle de béton par habitant) Béton est un terme générique qui désigne un matériau de construction composite fabriqué à partir de granulats (sable,… …   Wikipédia en Français

  • Dallage (construction) — Un dallage est un ouvrage de grandes dimensions, généralement en béton ou béton armé, qui repose uniformément sur le sol. Sommaire 1 Principes généraux 1.1 Constitution 1.2 Joints 2 …   Wikipédia en Français

  • PYRAMIDE — La pyramide, type de monument d’origine purement égyptienne, fut, au moins sous l’Ancien Empire (env. 2700 à 2200 av. J. C.), essentiellement la tombe d’un roi et parfois d’une reine, les dimensions étant en ce dernier cas beaucoup plus modestes …   Encyclopédie Universelle

  • Béton armé — Le béton armé est un matériau composite constitué de béton et de barres d acier qui allie la résistance à la compression du béton, à la résistance à la traction de l acier. Il est utilisé comme matériau de construction, notamment pour le génie… …   Wikipédia en Français

  • BÉTON — Le béton est aujourd’hui le matériau de construction par excellence. Environ 4 milliards de mètres cubes de béton sont utilisés tous les ans de par le monde pour la construction d’ouvrages de toutes natures, notamment de bâtiments, d’immeubles… …   Encyclopédie Universelle

  • Accent marseillais — Marseille  Cet article concerne la ville du sud de la France. Pour les autres significations, voir Marseille (homonymie). Marseille Le Vieux Port …   Wikipédia en Français

  • Aliki — Localisation d Aliki de Thasos Plan des carrières de la péninsule d …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
https://fr-academic.com/dic.nsf/frwiki/486681 Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”