Seconde forme fondamentale

Seconde forme fondamentale

En géométrie différentielle, la seconde forme fondamentale, notée II, est une forme quadratique sur l'espace tangent de l'hypersurface d'une variété riemannienne.

Sommaire

Définition

En notant \nabla_v w la dérivée covariante et n un ensemble de vecteurs normaux à l'hypersurface, on a :

\mathrm I\!\mathrm I(v,w)= -\langle \nabla_v n,w\rangle=\langle n,\nabla_v w\rangle.

Le signe de la seconde forme fondamentale dépend du choix de la direction de n (la co-orientation de l'hypersurface).

On peut généraliser le concept de seconde forme fondamentale aux espaces de codimension arbitraire. Dans ce cas, c'est une forme quadratique sur l'espace tangent, à valeurs dans le fibré normal :

\mathrm{I}\!\mathrm{I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot,

avec (\nabla_v w)^\bot la projection orthogonale de la dérivée covariante \nabla_v w sur le fibré normal.

Espaces euclidiens

Dans les espaces euclidiens, le tenseur de courbure d'une sous-variété peut être décrit par l'équation de Gauss :

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

Variétés riemanniennes

Pour une variété riemannienne quelconque, on doit ajouter la courbure de l'espace ambiant. Si N est une variété incluse dans une variété riemannienne (M,g), alors le tenseur de courbure RN de N avec métrique induite peut être exprimé à partir de la seconde forme fondamentale et de RM, le tenseur de courbure de M :

\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

Voir aussi

Notes et références


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Seconde forme fondamentale de Wikipédia en français (auteurs)

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