- Conjecture de Satō-Tate
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En mathématiques, la conjecture de Satō-Tate est un énoncé statistique à propos de la famille des courbes elliptiques Ep sur le corps fini à p éléments, avec p un nombre premier, obtenues à partir d'une courbe elliptique E sur le corps des nombres rationnels, par le processus de réduction modulo un nombre premier (en) pour presque tous les p. Si Np désigne le nombre de points sur Ep, la conjecture donne une réponse à la distribution du terme du deuxième ordre pour Np. C’est-à-dire, par le théorème de Hasse, nous avons
lorsque
, l'objectif de la conjecture étant de prédire comment le terme O varie.Sommaire
Détails
Il est facile de voir que nous pouvons, en fait, choisir le premier M des Ep comme nous voulons, comme une application du théorème des restes chinois, pour un entier M quelconque fixé. Dans le cas où E possède une multiplication complexe la conjecture est remplacée par une autre loi, plus simple.
Il est connu, à partir de la théorie générale, que le reste
peut être exprimé sous la forme cosθ pour un angle θ ; en termes géométriques, il existe deux valeurs propres conjuguées contribuant au reste et avec le dénominateur donné ci-dessus, elles sont de module 1. La conjecture de Satō-Tate, lorsque E n'a pas de multiplication complexe, établit la mesure de probabilité de
est proportionnelle àCeci est dû à Mikio Satō et John Tate (indépendamment, aux environs de 1960, et publié quelque temps plus tard).
L'annonce de Taylor
En 2006, Richard Taylor, de l'université Harvard, a annoncé sur sa page web une démonstration de la conjecture de Satō-Tate pour les courbes elliptiques sur les corps totalement réels satisfaisant une certaine condition : d'avoir une réduction multiplicative en un certain nombre premier. C’est-à-dire, pour un certain p où E a une mauvaise réduction (en) (et au moins pour les courbes elliptiques sur les nombres rationnels, il existe de tels p), le type dans la fibre singulière du modèle de Néron (en) est multiplicatif, plutôt qu'additif. En pratique, ceci est un cas typique, donc cette condition peut être considérée comme peu restrictive.
Généralisation
Il existe des généralisations, impliquant la distribution des éléments de Frobenius dans les groupes de Galois impliqués dans les représentations de Galois sur la cohomologie étale (en). En particulier, il existe une théorie conjecturale pour les courbes de genre > 1.
La forme de la distribution conjecturée est quelque chose qui peut être lue à partir de la géométrie des groupes de Lie d'un cas donné ; de sorte qu'en termes généraux, il existe un raisonnement pour cette distribution particulière. En fait, cette distribution se décrit de manière naturelle : c'est la mesure image (en), sur l'espace des classes de conjugaison, de la mesure de Haar du groupe de Lie compact considéré. On trouve le cas classique pour SU(2), avec la paramétrisation naturelle de ses classes de conjugaisons.
Questions plus précises
Il existe des énoncés plus raffinés. La conjecture de Lang-Trotter (1976) de Serge Lang et Hale Trotter prédit le nombre asymptotique de nombres premiers p avec une valeur donnée de
, la trace de Frobenius qui apparaît dans la formule. Pour le cas typique (pas de multiplication complexe, trace ≠ 0) leur formule établit que le nombre de p jusqu'à X est asymptotiquementavec une constante C précise. Neal Koblitz (1988) a fourni des conjectures détaillées pour le cas d'un nombre premier q de points sur Ep, motivé par la cryptographie sur les courbes elliptiques.
Liens externes
- (en) Diagrammes illustrant la conjecture de Satō-Tate, faits avec le logiciel d'algèbre SAGE.
- Henri Carayol, La Conjecture de Sato–Tate (d'après Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor), Séminaire Bourbaki, exposé N° 977 (juin 2007)
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sato–Tate conjecture » (voir la liste des auteurs)
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