Conjecture de Satō-Tate

Conjecture de Satō-Tate

En mathématiques, la conjecture de Satō-Tate est un énoncé statistique à propos de la famille des courbes elliptiques Ep sur le corps fini à p éléments, avec p un nombre premier, obtenues à partir d'une courbe elliptique E sur le corps des nombres rationnels, par le processus de réduction modulo un nombre premier (en) pour presque tous les p. Si Np désigne le nombre de points sur Ep, la conjecture donne une réponse à la distribution du terme du deuxième ordre pour Np. C’est-à-dire, par le théorème de Hasse, nous avons

\frac{N_p}{p} = 1 + O\left(\frac1{\sqrt p}\right)\,

lorsque p \rightarrow \infty\,, l'objectif de la conjecture étant de prédire comment le terme O varie.

Sommaire

Détails

Il est facile de voir que nous pouvons, en fait, choisir le premier M des Ep comme nous voulons, comme une application du théorème des restes chinois, pour un entier M quelconque fixé. Dans le cas où E possède une multiplication complexe la conjecture est remplacée par une autre loi, plus simple.

Il est connu, à partir de la théorie générale, que le reste

-\frac{1}{2}(N_p - (p + 1))/\sqrt{p}\,

peut être exprimé sous la forme cosθ pour un angle θ ; en termes géométriques, il existe deux valeurs propres conjuguées contribuant au reste et avec le dénominateur donné ci-dessus, elles sont de module 1. La conjecture de Satō-Tate, lorsque E n'a pas de multiplication complexe, établit la mesure de probabilité de \theta\, est proportionnelle à

\sin^2 \theta~\mathrm d\theta.

Ceci est dû à Mikio Satō et John Tate (indépendamment, aux environs de 1960, et publié quelque temps plus tard).

L'annonce de Taylor

En 2006, Richard Taylor, de l'université Harvard, a annoncé sur sa page web une démonstration de la conjecture de Satō-Tate pour les courbes elliptiques sur les corps totalement réels satisfaisant une certaine condition : d'avoir une réduction multiplicative en un certain nombre premier. C’est-à-dire, pour un certain pE a une mauvaise réduction (en) (et au moins pour les courbes elliptiques sur les nombres rationnels, il existe de tels p), le type dans la fibre singulière du modèle de Néron (en) est multiplicatif, plutôt qu'additif. En pratique, ceci est un cas typique, donc cette condition peut être considérée comme peu restrictive.

Généralisation

Il existe des généralisations, impliquant la distribution des éléments de Frobenius dans les groupes de Galois impliqués dans les représentations de Galois sur la cohomologie étale (en). En particulier, il existe une théorie conjecturale pour les courbes de genre > 1.

La forme de la distribution conjecturée est quelque chose qui peut être lue à partir de la géométrie des groupes de Lie d'un cas donné ; de sorte qu'en termes généraux, il existe un raisonnement pour cette distribution particulière. En fait, cette distribution se décrit de manière naturelle : c'est la mesure image (en), sur l'espace des classes de conjugaison, de la mesure de Haar du groupe de Lie compact considéré. On trouve le cas classique pour SU(2), avec la paramétrisation naturelle de ses classes de conjugaisons.

Questions plus précises

Il existe des énoncés plus raffinés. La conjecture de Lang-Trotter (1976) de Serge Lang et Hale Trotter prédit le nombre asymptotique de nombres premiers p avec une valeur donnée de a_p\,, la trace de Frobenius qui apparaît dans la formule. Pour le cas typique (pas de multiplication complexe, trace ≠ 0) leur formule établit que le nombre de p jusqu'à X est asymptotiquement

C \times \frac{\sqrt{X}}{\log X}\,

avec une constante C précise. Neal Koblitz (1988) a fourni des conjectures détaillées pour le cas d'un nombre premier q de points sur Ep, motivé par la cryptographie sur les courbes elliptiques.

Liens externes



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Conjecture de Satō-Tate de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Conjecture De Satō-Tate — En mathématiques, la conjecture de Satō Tate est un énoncé statistique à propos de la famille des courbes elliptiques sur le corps fini à p éléments, avec p un nombre premier, obtenu à partir d une courbe elliptique E sur le corps des nombres… …   Wikipédia en Français

  • Conjecture de Sato-Tate — Conjecture de Satō Tate En mathématiques, la conjecture de Satō Tate est un énoncé statistique à propos de la famille des courbes elliptiques sur le corps fini à p éléments, avec p un nombre premier, obtenu à partir d une courbe elliptique E sur… …   Wikipédia en Français

  • Conjecture de satō-tate — En mathématiques, la conjecture de Satō Tate est un énoncé statistique à propos de la famille des courbes elliptiques sur le corps fini à p éléments, avec p un nombre premier, obtenu à partir d une courbe elliptique E sur le corps des nombres… …   Wikipédia en Français

  • Sato-Tate conjecture — In mathematics, the Sato Tate conjecture is a statistical statement about the family of elliptic curves Ep over the finite field with p elements, with p a prime number, obtained from an elliptic curve E over the rational number field, by the… …   Wikipedia

  • Satô — Sato Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sommaire 1 Patronyme 2 Prénom 3 Autres …   Wikipédia en Français

  • Satō — Sato Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sommaire 1 Patronyme 2 Prénom 3 Autres …   Wikipédia en Français

  • Sato — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sommaire 1 Patronyme 2 Prénom 3 Autres …   Wikipédia en Français

  • Sato — Satō ( ja. , characters for assistance and wisteria ) is the most common Japanese surname. It may be romanized as Sato or Satoh on a Japanese passport. In wāpuro rōmaji, it is spelled Satou.Sato is also Puerto Rican slang for Street/Stray Dogs… …   Wikipedia

  • Mikio Sato — Mikio Satō Mikio Satō (佐藤 幹夫, né le 18 avril 1928) est un mathématicien japonais qui travaille dans le domaine qu il appelle analyse algébrique. Il a fait ses études à l université de Tōkyō, notamment comme étudiant en physique avec… …   Wikipédia en Français

  • Mikio Satō — (佐藤 幹夫, né le 18 avril 1928) est un mathématicien japonais qui travaille dans le domaine qu il appelle analyse algébrique. Il a fait ses études à l université de Tōkyō, notamment comme étudiant en physique avec Shin ichiro Tomonaga.… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”