Conjecture abc

Conjecture abc

La conjecture abc est une conjecture en théorie des nombres. Elle a été formulée pour la première fois par Joseph Oesterlé et David Masser en 1985. C'est « le problème non résolu le plus important en analyse diophantienne[1] » car si elle était vérifiée, elle permettrait de démontrer aisément le théorème de Fermat-Wiles, entre autres.

Sommaire

Formulation

Soit \epsilon > 0, alors il existe une constante K_\epsilon telle que, pour tous a,b,c entiers relatifs premiers entre eux vérifiant a + b = c, on ait: \max(|a|,|b|,|c|)\le \operatorname{K}_\epsilon \operatorname{N}_0(abc)^{1+\epsilon}

où \operatorname{N}_0(n) est le radical de n, c'est-à-dire le produit des nombres premiers divisant n.

Analogie avec les polynômes

L'idée de la conjecture abc s'est formée par analogie avec les polynômes. Un théorème abc est en effet disponible pour les polynômes sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Il est aussi appelé théorème de Mason-Stothers (en) et se formule ainsi :

Pour tous polynômes a,b,c premiers entre eux vérifiant a + b = c, on a \max(\deg\{a,b,c\})\le n_0(abc)-1

où n0(P) est le nombre de racines distinctes de P.

Ce théorème permet de démontrer de manière aisée le théorème de Fermat pour les polynômes : l'équation Xn + Yn = Zn où X,Y,Z sont des polynômes non constants, n'a pas de solutions si n \ge 3.

La tentation est alors grande de trouver un analogue pour les entiers, car il permettrait de démontrer tout aussi facilement le théorème de Fermat.

Une des principales conséquences : le théorème de Fermat

En supposant la conjecture abc, on peut démontrer une version asymptotique du théorème de Fermat, dans le sens où on montre qu'il existe N tel que pour tout n\ge N, xn + yn = zn n'a plus de solutions entières. Ce N dépendrait cependant explicitement de la constante K_\epsilon donné par la conjecture abc.

En prenant un \epsilon positif quelconque, on suppose que x, y et z sont des entiers non tous nuls avec xn + yn = zn. Quitte à les réorganiser, on les suppose tous positifs et, quitte à les diviser par leur PGCD à la puissance n, on suppose qu'ils sont premiers entre eux. On a donc d'après la conjecture abc :

\max(|x|^n,|y|^n,|z|^n) = z^n \le \operatorname{K}_\epsilon \operatorname{N}_0((xyz)^n)^{1+\epsilon}.

Or \operatorname{N}_0((xyz)^n)=\operatorname{N}_0(xyz). Ceci donne, compte tenu de \operatorname{N}_0(xyz) \le xyz \le z^3

z^n \le \operatorname{K}_\epsilon z^{3(1+\epsilon)}

donc quitte à supposer z \geq 2, on obtient

n \leq 3(1+\epsilon) + \ln(\operatorname{K}_\epsilon) / \ln(2)

ce qui fournit une valeur limite à n dépendant explicitement de \operatorname{K}_\epsilon.

Autres conséquences

La conjecture abc permettrait de prouver d'autres théorèmes importants en théorie des nombres, parmi lesquels :

Note et référence

  1. ↑ (en) Dorian Goldfeld (en), « Beyond the last theorem », dans The Sciences (en), mars/avril 1996, p. 34-40 .

Voir aussi

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