Théorème de Baker
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Le théorème de Baker résout la conjecture de Gelfond. Dû à Alan Baker dans une série d'articles intitulés Linear forms in the logarithms of algebraic numbers parue en 1966 et 1967 dans la revue Mathematika, c'est un résultat de transcendance sur les logarithmes de nombres algébriques, qui généralise à la fois le théorème d'Hermite-Lindemann (1882) et le théorème de Gelfond-Schneider (1934). Ce théorème a été adapté au cas des nombres p-adiques par Brumer, toujours en 1966 ; le théorème de Brumer permet de démontrer la conjecture de Leopoldt dans le cas d'un corps de nombres abélien, suivant un article d'Ax paru en 1965.
Théorème : Soit a1,...,an des nombres complexes dont les exponentielles sont algébriques sur le corps des rationnels. Si a1,...,an sont linéairement indépendants sur le corps des rationnels alors 1,a1,...,an sont linéairement indépendants sur la clôture algébrique du corps des rationnels.
Exemple : le théorème de Baker permet de montrer la transcendance de nombres comme x log(2)+y log(3)+z log(5) pour tous nombres algébriques x, y, z non tous nuls.
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2010.
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