Conjecture De Hilbert-Pólya

Conjecture de Hilbert-Pólya

En mathématiques, la conjecture de Hilbert-Pólya est une approche possible de l'hypothèse de Riemann, à l'aide de la théorie spectrale.

Sommaire

1 Premières idées
2 Les années 50 et la formules des traces de Selberg
3 Les années 70 et les matrices aléatoires
4 Développements récents
5 Connexion possible avec la mécanique quantique
6 Connexion possible avec la mécanique statistique

Premières idées

Hilbert et Pólya ont spéculé que les valeurs de t telle que 1/2 + it soit un zéro de la fonction zêta de Riemann doivent être les valeurs propres d'un opérateur hermitien, et ceci serait une voie pour démontrer l'hypothèse de Riemann.

Les années 50 et la formules des traces de Selberg

À ce moment, c'était une petite base pour une telle spéculation. Néanmoins Selberg au début des années 1950 a démontré une dualité entre la longueur du spectre d'une surface de Riemann et les valeurs propres de son laplacien. Ceci, que l'on appelle la formule des traces de Selberg avance une ressemblance frappante avec les formules explicites, donna une certaine crédibilité à la spéculation de Hilbert et Pólya.

Les années 70 et les matrices aléatoires

Hugh Montgomery rechercha et trouva que la distribution statistique des zéros sur la droite critique possède une certaine propriété. Les zéros ne tendent pas à être trop fermement ensemble, mais à se repousser. En visitant l'Institute for Advanced Study en 1972, il montra ce résultat à Freeman Dyson, un des fondateurs de la théorie des matrices aléatoires, qui sont très importantes en physique — les états propres d'un hamiltonien, par exemple les niveaux d'énergie d'un noyau atomique, satisfont à de telles statistiques.

Dyson a vu que la distribution statistique trouvée par Montgomery était exactement la même que la distribution des paires de corrélations pour les valeurs propres d'une matrice hermitienne aléatoire. Le travail postérieur a fortement élevé cette découverte, et la distribution des zéros de la fonction zêta de Riemann est maintenant reconnue pour satisfaire les mêmes statistiques que les valeurs propres d'une matrice hermitienne aléatoire, les statistiques de ce que l'on appelle l'ensemble unitaire gaussien. Ainsi, la conjecture de Pólya et Hilbert possède maintenant une base plus solide, bien qu'elle n'ait pas encore conduit à une démonstration de l'hypothèse de Riemann.

Développements récents

Dans un développement qui a donné une force appréciable à cette approche de l'hypothèse de Riemann à travers l'analyse fonctionnelle, Alain Connes a énoncé une formule de trace qui est actuellement équivalente à l'hypothèse de Riemann généralisée. Ceci a, par conséquent, renforcé l'analogie avec la formule de trace de Selberg au point où elle donne des résultats précis.

Connexion possible avec la mécanique quantique

Une connexion possible de l'opérateur de Hilbert-Pólya avec la mécanique quantique a été donnée par Pólya. L'opérateur de Hilbert-Pólya est de la forme $1/2+iH\,$ où $H\,$ est l'Hamiltonien d'une particule de masse $m\,$ c’est-à-dire se déplaçant sous l'influence d'un potentiel $V (x)$ . La conjecture de Riemann est équivalente à l'affirmation que l'Hamiltonien est Hermitien, ou de manière équivalente que $V$ est réel.

En utilisant la théorie de la perturbation du premier ordre, l'énergie du $n$ ième état propre est relié à la valeur espérée du potentiel :

$E_{n}=E_{n}^{0}+ \langle \phi^{0}_n \vert V \vert \phi^{0}_n \rangle$

où $E^{0}_n\,$ et $\phi^{0}_n\,$ sont les valeurs propres et les états propres de l'Hamiltonien de la particule libre. Cette équation peut être prise pour être une équation intégrale de Fredholm de première espèce, avec les énergies $E n$ . De telles équations intégrales peuvent être résolues au moyen du noyau résolvant, de sorte que le potentiel peut être écrit sous la forme

$V(x)=A\int_{-\infty}^{\infty} (g(k)+\overline{g(k)}-E_{k}^{0})\,R(x,k)\,dk$

où $R (x, k)$ est le noyau résolvant, $A$ est une constante réelle et

$g(k)=i \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}-\rho_n \right)\delta(k-n)$

où $\delta(k-n)\,$ est la fonction delta de Dirac, et les $\rho_n\,$ sont les racines "non-triviales" de la fonction zêta $\zeta (\rho_n)=0\,$ .

Connexion possible avec la mécanique statistique

En utilisant la formule explicite pour la fonction de Tchebychef, en fixant x=exp(u), nous avons

$\sum_{n}e^{-\beta E_{n}}=Z(\beta)=e^{u/2}-e^{-u/2} \frac{d\psi _{0}}{du}-\frac{e^{u/2}}{e^{3u}-e^{u}},$

où Z est une fonction de partition, par conséquent $Z(\beta)=\operatorname{Tr}[e^{-\beta H}]$ est la trace de l'exponentielle d'un certain Hamiltonien où "bêta" est une quantité imaginaire pure.

En utilisant la définition de Z en termes d'une intégrale sur (x, p), nous avons l'intégrale non-linéaire prochaine pour le potentiel :

$Z(u)Au^{1/2}=\int_{-\infty}^{\infty} \cos(uV(x)+\frac{\pi}{4})\,dx$ with

- β = i u .

Donc, l'opétateur de Hilbert-Pólya est un Hamiltonien, dont les "énergies" sont précisément les parties imaginaires des nombres satisfaisant $\zeta(\rho)=0\,$ .

Portail des mathématiques
Portail de la physique

Ce document provient de « Conjecture de Hilbert-P%C3%B3lya ».

Catégories : Analyse complexe | Conjecture | Fonction zêta | Théorie analytique des nombres | Mécanique quantique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Conjecture De Hilbert-Pólya de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

Conjecture de Hilbert-Polya — Conjecture de Hilbert Pólya En mathématiques, la conjecture de Hilbert Pólya est une approche possible de l hypothèse de Riemann, à l aide de la théorie spectrale. Sommaire 1 Premières idées 2 Les années 50 et la formules des traces de Selberg … Wikipédia en Français
Conjecture de hilbert-pólya — En mathématiques, la conjecture de Hilbert Pólya est une approche possible de l hypothèse de Riemann, à l aide de la théorie spectrale. Sommaire 1 Premières idées 2 Les années 50 et la formules des traces de Selberg … Wikipédia en Français
Conjecture de Hilbert-Pólya — En mathématiques, la conjecture de Hilbert Pólya est une approche possible de l hypothèse de Riemann, à l aide de la théorie spectrale. Sommaire 1 Premières idées 2 Les années 50 et la formules des traces de Selberg 3 … Wikipédia en Français
Hilbert–Pólya conjecture — In mathematics, the Hilbert–Pólya conjecture is a possible approach to the Riemann hypothesis, by means of spectral theory.Initial hunchesDavid Hilbert and George Pólya speculated that real number values of t such that : frac12 + it is a zero of… … Wikipedia
Hilbert — David Hilbert David Hilbert David Hilbert en 1912 Naissance 23 janvier 1862 Königsberg (Prusse Orientale) … Wikipédia en Français
Polya — George Pólya George Pólya vers 1973 George (György) Pólya, né à Budapest (Hongrie) le 13 décembre 1887 et mort à Palo Alto (États Unis le 7 septembre 1985, est un mathématicien américain d origine hongroise … Wikipédia en Français
Pólya — George Pólya George Pólya vers 1973 George (György) Pólya, né à Budapest (Hongrie) le 13 décembre 1887 et mort à Palo Alto (États Unis le 7 septembre 1985, est un mathématicien américain d origine hongroise … Wikipédia en Français
David Hilbert — en 1912 Naissance 23 janvier 1862 Königsberg (Prusse Orientale) Décès 14 février 1943 … Wikipédia en Français
George Pólya — vers 1973 George (György) Pólya, né à Budapest (Hongrie) le 13 décembre 1887 et mort à Palo Alto (États Unis) le 7 septembre 1985, est un mathématicien américain d origine hongroise. Après des études secondaires classiqu … Wikipédia en Français
George Polya — George Pólya George Pólya vers 1973 George (György) Pólya, né à Budapest (Hongrie) le 13 décembre 1887 et mort à Palo Alto (États Unis le 7 septembre 1985, est un mathématicien américain d origine hongroise … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Conjecture De Hilbert-Pólya