Composition des applications

Composition des applications

Composition de fonctions

En mathématiques, la composition de fonctions (ou composition d'applications) est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, d'en construire une nouvelle. Pour cela on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée).

Sommaire

Définition formelle

Soient X, Y et Z trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions f:X\to Y et g:Y \to Z. Si l'ensemble d'arrivée de f est inclus dans l'ensemble de départ de g (c'est-à-dire si f(X) \subset Y), on définit alors la composée de f par g, notée g \circ f par

\forall x \in X,\ (g\circ f)(x)=g[f(x)].

On applique ici f à l'argument x, puis on applique g au résultat.

On se retrouve donc avec une nouvelle fonction g \circ f: X \to Z.

La notation g \circ f se lit « g rond f », « f suivie de g » ou encore « g après f ». On note parfois g\circ f(x) pour (g \circ f)(x).

Exemple d'incompatibilité des domaines

Soient les deux fonctions :

 \begin{matrix} f:&\mathbb R & \rightarrow & \mathbb R_+ \\ & x & \mapsto & x^2 \end{matrix}

et

\begin{matrix} g: & \mathbb R_- & \rightarrow & \mathbb R_+ \\ & x & \mapsto & \sqrt{-x} \end{matrix}

Ici, le domaine d'arrivée de f est \R_+. Or le domaine de départ de g est \R_- (il n'existe pas de nombre réel tel que son carré soit strictement négatif). La fonction g\circ f n'a donc pas de sens ici (puisqu'elle n'est vérifiée que pour une seule valeur de x, 0).

Propriétés

Ici on ne se préoccupe pas des problèmes de compatibilité des domaines des fonctions considérées.

  • La composition de fonctions n'est généralement pas commutative :
f \circ g \ne g \circ f
 f \circ ( g \circ h ) = ( f \circ g ) \circ h
  • La composition de fonctions n'est généralement pas distributive (sur un opérateur quelconque \star) :
f \circ (g \star h) \ne (f \circ g) \star (f \circ h)
  • Si la fonction g est continue en x0 et la fonction f est continue en g(x0) alors  f \circ g est continue en x0.
  • Composition de deux fonctions f et g strictement monotones ( le sens de variation obéit à une sorte de règle des signes):
    • si f et g ont même sens de variation, leur composée est strictement croissante;
    • si f et g ont des sens de variation différents, leur composée est strictement décroissante.
  • Dérivée d'une composition de fonctions dérivables :
(f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'
Voir l'article théorème de dérivation des fonctions composées.
 (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}

Puissances fonctionnelles

On conserve les notations ci-dessus. Si Y \subset X alors f peut être composée avec elle-même; et la composée est notée f2. Ainsi

f^2=f \circ f
 f ^3= f \circ f \circ f

Et de manière plus générale:

 \forall n \in \N^*, f^n=\underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n\ \mathrm{fois}}

On pose

f^0=\operatorname{Id}_X

\operatorname{Id}_X est l'application identité de l'ensemble X.

Une extension de cette notation avec des exposants entiers négatifs peut être définie, à condition de supposer la fonction f bijective de X dans lui-même. Ainsi, f − 1 désigne l'application réciproque et pour tout entier n strictement négatif, fn, est la composée de f − 1 par elle-même n fois.

Attention à ne pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction pour la multiplication des applications. Par exemple sin2 est la fonction \sin \times \sin qui vérifie

\forall x \in \R,\ \sin^2(x) = \sin(x)\times \sin(x)

Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.

Autre notation

Au milieu du XXe siècle, quelques mathématiciens trouvèrent que la notation g \circ f portait à confusion et décidèrent d'utiliser xf pour f(x) et xfg pour (g \circ f)(x). Ils ne furent pas suivis et cette notation ne se rencontre que dans certains vieux livres.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Composition de fonctions ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Composition des applications de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Composition d'applications — Composition de fonctions En mathématiques, la composition de fonctions (ou composition d applications) est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, d en construire une nouvelle. Pour cela on utilise les images de la première fonction… …   Wikipédia en Français

  • Composition des tableaux — Produit matriciel Le produit matriciel désigne le produit de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux »[1]. Cet article montre comment multiplier les matrices. Sommaire 1 Produit matriciel ordinaire 1.1 Exemple …   Wikipédia en Français

  • Applications Des Satellites — Cet article décrit les diverses applications des satellites. Sommaire 1 Qu est ce qu un satellite artificiel ? 2 Les différents types de satellites artificiels 2.1 Satellite scientifique …   Wikipédia en Français

  • Composition De Fonctions — En mathématiques, la composition de fonctions (ou composition d applications) est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, d en construire une nouvelle. Pour cela on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la… …   Wikipédia en Français

  • Applications des satellites — Cet article décrit les diverses applications des satellites. Sommaire 1 Qu est ce qu un satellite artificiel ? 2 Les différents types de satellites artificiels 2.1 Satellite scientifique …   Wikipédia en Français

  • Composition de fonctions — En mathématiques, la composition de fonctions (ou composition d applications) est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la… …   Wikipédia en Français

  • Applications linéaires — Application linéaire En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire… …   Wikipédia en Français

  • Composition de l'eau — Molécule d eau Pour les articles homonymes, voir eau (homonymie). Article principal : eau. Eau …   Wikipédia en Français

  • ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie élémentaire — L’algèbre des ensembles et l’étude abstraite des relations sont d’une importance croissante dans toutes les disciplines qui cherchent à s’exprimer dans un cadre rigoureux. En mathématiques, c’est l’interrogation sur les fondements de cette… …   Encyclopédie Universelle

  • Représentation des groupes finis — Représentations d un groupe fini En mathématiques, un groupe est une structure algébrique dont la définition est remarquablement simple. Elle consiste en un ensemble muni d une unique opération. Cette opération possède de bonnes propriétés, elle… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”