Comparaison asymptotique

En mathématiques, plus précisément en analyse, la comparaison asymptotique est une méthode consistant à étudier le comportement d'une fonction au voisinage d'un point (ou en l'infini), en regard du comportement d'une autre fonction, souvent choisie sur une échelle de référence. Cette échelle est généralement une échelle de monômes. Cette méthode peut être utilisée pour traiter de gros volumes de données ou pour étudier le comportement de systèmes complexes en physique et en informatique, en particulier en théorie de la complexité des algorithmes.

Cet article présente quelques cas de comparaison asymptotique, et introduit les notations de Landau et de Hardy.

Exemples de comparaison

Négligeabilité

Article détaillé : Négligeable.

Soit $f$ et $g$ deux fonctions réelles. Pour l'exemple, définissons $f$ et $g$ par les formules $f (x) = x$ et $g (x) = cos(x) + 2$ .

Par une étude triviale des deux fonctions, on sait que $f$ prend des valeurs aussi grandes que l'on veut au voisinage de l'infini, tandis que $g$ ne peut prendre des valeurs qu'entre 1 et 3. La distance entre $f$ et $g$ au voisinage de l'infini ne cesse d'augmenter et n'est pas bornée. Dans ce contexte, on peut dire que $g$ est négligeable devant $f$ au voisinage de l'infini, on écrit : $g(x) = \underset{ \overset { x \rightarrow \infty } {} } {o} (f(x))$ (notation de Landau) ou $g(x) \underset{ \overset { x \rightarrow \infty } {} } {\ll} f(x)$ (notation de Hardy).

Pour décrire formellement cette "distance" entre deux fonctions, on va utiliser le comportement du quotient $\frac f g$ .

Définition formelle

Soit $a \in \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty ; -\infty \right\}$ .

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de la variable réelle $x$ . On suppose que $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de a. On dit que $f$ est négligeable devant $g$ en $a$ (ou que $g$ est prépondérante devant $f$ en $a$ ) , et on note

$f(x) = \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {o} (g(x))$ , lorsque $\frac {f(x)} {g(x)} \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {\longrightarrow} 0$ .

Si le contexte est clair, on ne précise pas le domaine d'étude et on note : $f (x) = o (g (x))$ , voire $f = o (g)$ . Cependant, la notation est toujours associée à un lieu a et au voisinage de ce lieu : être négligeable est un concept local.

La notation de Landau associée à négligeable est $f (x) = o (g (x))$ (qu'on note aussi $f(x) \in o(g(x))$ ) et s'appelle petit o, tandis que la notation de Hardy se note $f \ll g$ . On utilise plus couramment la notation de Landau par souci de simplification dans les calculs.

Propriétés

Par abus de langage, on effectue des 'opérations' sur «les petits o», c'est-à-dire sur les négligeables. En effet, on peut dire que :

o (f) + o (f) = o (f)

o (f) - o (f) = o (f)

Exemples

$x^2 + 2011 = \underset{ \overset { x \rightarrow \infty } {} } {o} (x^3)$

Pour toute fonction

ε

telle que $\varepsilon \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {\longrightarrow} 0$ , on a : $\varepsilon (x) = \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {o} (1)$

Équivalence

Article détaillé : Équivalent.

Définition formelle

Soit $a \in \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty ; -\infty \right\}$ .

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de la variable réelle $x$ . On suppose que $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de a. On dit que $f$ est équivalent $g$ en $a$ , ou que $g$ équivaut à $f$ en $a$ , et on note

$f(x) \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {\sim} g(x)$ , lorsque $f(x) - g(x) = \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {o} (g(x))$ .

Exemple

$\cos x + x^{20} + \exp(x) \underset{ \overset { x \rightarrow \infty } {} } {\sim} \exp(x)$

Domination

La notation grand O de Landau dénote le caractère dominé d'une fonction par rapport à une autre.

Généralement on utilise la lettre O majuscule, quoique en principe il s'agit de la lettre grecque omicron majuscule, rarement dessinée de manière clairement différente du O. Surtout ne pas employer le chiffre zéro.

Définition formelle

Soit $a \in \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty ; -\infty \right\}$ .

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de la variable réelle $x$ . On dit que $f$ est dominé par $g$ en $+\infty$ , ou que $g$ domine $f$ en $+\infty$ , et on note

$f(x) = \underset{ \overset { x \rightarrow +\infty } {} } {O} (g(x))$ , lorsqu'il existe des constantes

N

C

telles que $\forall x>N\qquad \left|f(x)\right| \le C \left|g(x)\right|$ .

Intuitivement, cela signifie que $f$ ne croît pas plus vite que $g$ .

De même, si $a$ est un nombre réel, nous écrivons

$f(x) = O(g(x)) \ {\rm quand}\ x \rightarrow a\;$

si et seulement s’il existe des constantes $d > 0$ et $C$ telles que

La première définition est la seule utilisée en informatique (où typiquement seules les fonctions positives à variable entière n sont considérées, les valeurs absolues pouvant être ignorées).

Si $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de $a$ , on a :

$\frac {f(x)} {g(x)} \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {\longrightarrow} c \in \mathbb{R}$ .

Exemples

$x^3 - 2011 x^2 = \underset{ \overset { x \rightarrow \infty } {} } {O} (x^3)$
En un point a, si f est négligeable devant g ou équivalente à g alors elle est dominée par g.
Pour toute fonction $f$ bornée sur un voisinage de $a$ , on a $f(x) = \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {O} (1)$

Utilisation des comparaisons

Développements limités

En mathématiques, il est souvent important de garder un œil sur le terme d'erreur d'une approximation. Cette notation est particulièrement utilisée dès que l'on a affaire à des développements limités et à des calculs d'équivalents. Par exemple, le développement de la fonction exponentielle à l'ordre 2 peut aussi s'écrire:

$e^x = 1+x+\frac{1}{2} x^2+o(x^2) \ {\rm quand}\ x \rightarrow 0$

pour exprimer le fait que l'erreur, la différence $e^x - \left(1 + x +\frac{x^2}{2}\right)$ , est négligeable devant $x 2$ quand $x$ tend vers 0.

Il faut préciser que le nombre d'opérandes dans ce genre d'écriture doit être constant (ne pas dépendre de la variable) : une "formule" telle que $o(n)+o(n)+\dots+o(n)=o(n)$ est fausse si les points de suspension cachent n termes.

Échelle de comparaison

Voici une liste de catégories de fonctions couramment utilisées en analyse. Les fonctions sont classées par ordre de croissance de la plus lente à la plus rapide, quand la variable (notée ici n) tend vers $+\infty$ . c est une constante arbitraire.

notation		croissance
O(1)		constante
O(log(n))		logarithmique
O((log(n))^c)		polylogarithmique
O(n)		linéaire
O(n log(n))		parfois appelée « linéarithmique », ou « quasi-linéaire »
O(n²)		quadratique
O(n^c)		polynomiale
O(cⁿ)		exponentielle, parfois « géométrique »
O(n!)		factorielle

O(n^c) et O(cⁿ) sont très différents. Le dernier exprime une croissance bien plus rapide, et ce pour n'importe quelle constante c>1. Une fonction qui croît plus rapidement que n'importe quel polynôme est appelée super-polynomiale. Une fonction qui croît plus lentement que toute exponentielle est appelée sous-exponentielle. Il existe des fonctions à la fois super-polynômiales et sous-exponentielles comme par exemple la fonction n^log(n). Certains algorithmes ont un temps de calcul de ce type, comme celui de la factorisation d'un nombre entier.

Remarquons aussi que O(log n) est exactement identique à O(log(n^c)). Les logarithmes diffèrent seulement d'un facteur constant, et que la notation grand O « ignore » les constantes. De manière analogue, les logarithmes dans des bases constantes différentes sont équivalents.

La liste précédente est utile à cause de la propriété suivante : si une fonction f est une somme de fonctions, et si une des fonctions de la somme grimpe plus vite que les autres, alors celle qui croît le plus vite détermine l'ordre de f(n).

ex.: si f(n) = 10 log(n) + 5 (log(n))³ + 7 n + 3 n² + 6 n³, alors f(n) = O(n³).

Fonction à plusieurs variables

Cette notation peut aussi être utilisée avec des fonctions de plusieurs variables :

L'écriture :	$f(n,m) = n^2 + m^3 + O(n+m)\;$ quand $m,n\to +\infty$
correspond à la proposition :	$\exists C \quad \exists N \quad \forall n,m > N \qquad \|f(n,m) -n^2-m^3 \|\le C(n+m)$

Évidemment, cette notation abuse du symbole d'égalité, puisque elle viole l'axiome d'égalité: « des choses égales à la même chose sont égales entre elles » (autrement dit, avec cette notation, l'égalité n'est plus une relation d'équivalence). Pour être plus formellement correctes, certaines personnes préfèrent définir $O (g (x))$ comme un ensemble de fonctions, dont les éléments sont toutes les fonctions qui ne grandissent pas plus vite que $g$ , et utilisent les notations ensemblistes pour indiquer si une fonction donnée est un élément de l'ensemble ainsi défini. Les deux conventions sont couramment utilisées mais la notation la moins soignée est jusqu'à présent la plus souvent rencontrée.

Un autre problème est qu'il faut clairement indiquer la variable par rapport à laquelle le comportement asymptotique est examiné. Une affirmation telle que $f(n,m) = O (m^n)\;$ n'a pas le même sens selon qu'elle est suivie de « quand $m,n\to +\infty$ » ou, par exemple, de « (pour tout $m$ fixé) quand $n\to +\infty$ ». Cette difficulté se produit rarement dans la pratique.

La famille de notations de Landau O, o, Ω, ω, Θ, Õ

Notation	Nom	Intuition	Lorsque $n \to \infty$ , à partir d'un certain rang...	Définition
$f(n) \in O(g(n))$	Grand O (omicron)	$f$ est bornée, par le dessus, par $g$ asymptotiquement (à un facteur près)	$\|f(n)\| \leq g(n)\cdot k$ pour un k	$\exists k>0, n_0 \; \forall n>n_0 \; \|f(n)\| \leq \|g(n)\cdot k\|$ ou $\exists k>0, n_0 \; \forall n>n_0 \; f(n) \leq g(n)\cdot k$
$f(n) \in \Omega(g(n))$ (Naguère, on disait « $f = o (g)$ est faux» dans un sens faible.)	Grand Omega	$f$ est bornée, par le dessous, à $g$ asymptotiquement (à un facteur près)	$\|f(n)\| \geq g(n)\cdot k$ pour un k	$\exists k>0, n_0 \; \forall n>n_0 \; g(n)\cdot k \leq \|f(n)\|$
$f(n) \in \Theta(g(n))$	Grand Theta	$f$ est dominée et soumise à $g$ asymptotiquement	$\|g(n)\|\cdot k_1 \leq \|f(n)\| \leq \|g(n)\|\cdot k_2$ pour un k₁, k₂	$\exists k_1,k_2>0, n_0 \; \forall n>n_0 \; \|g(n)\cdot k_1\| < \|f(n)\| < \|g(n)\cdot k_2\|$
$f(n) \in o(g(n))$	Petit o (omicron)	$f$ est dominé par $g$ asymptotiquement	$\|f(n)\| \le \|g(n)\|\cdot \varepsilon$ pour tout $ε$	$\forall \varepsilon>0 \; \exists n_0 \; \forall n>n_0 \; \|f(n)\| \le \|g(n)\cdot \varepsilon\|$
$f(n) \in \omega(g(n))$	Petit Omega	$f$ domine $g$ asymptotiquement	$\|f(n)\| \ge \|g(n)\|\cdot k$ pour tout k	$\forall k>0 \; \exists n_0 \; \forall n>n_0 \; \|g(n)\cdot k\| \le \|f(n)\|$
$f(n)\sim g(n)\!$	de l'ordre de; équivalent à	$f$ est égal à $g$ asymptotiquement	$\|f(n)/g(n)-1\| \to 0$	$\forall \varepsilon>0\;\exists n_0\;\forall n>n_0\;\|f(n)/g(n)-1\|<\varepsilon$

La notation de Landau a été conçue avec des vrais morceaux de mnémotechnique, comme on peut le lire dans la colonne Lorsque $n \to \infty$ , à partir d'un certain rang.... En effet omicron peut être lu «o-micro-n» et omega «o-mega». Que la lettre soit capitale ou non va dans le même sens et aide à la mémorisation.

o-micron : on peut lire $f(n) \in O(g(n))$ et $f(n) \in o(g(n))$ comme «O-plus petit que» et «o-plus petit que», respectivement. Le suffixe «micro» signifie que plus on modifie le paramètre d'entrée, plus $f$ croît à une vitesse qui est plus petite que celle de $c g$ . Suivant la casse de o (minuscule ou majuscule), c est un réel quelconque (domination en petit o) ou particulier (domination en grand o).
o-mega : on peut lire $f(n) \in \Omega(g(n))$ et $f(n) \in \omega(g(n))$ comme « $Ω$ -plus grand que» et « $ω$ -plus grand que» et signifie : pour des valeurs très grandes du paramètre d'entrée, $f$ croît à une vitesse qui est plus grande que $c g$ . Suivant la casse de $ω$ , c est un réel quelconque (soumission en $Ω$ ) ou particulier (soumission en $ω$ ).

Après grand-O, les notations Θ et Ω sont les plus utilisées en informatique ; le petit-o est courant en mathématiques mais plus rare en informatique. Le ω est peu usité.

Une autre notation parfois utilisée en informatique est Õ (soft-O en anglais) qui signifie grand-o à un facteur logarithmique près.

Notations de Landau, notations de Hardy

Notations de Landau

Les notations de Landau portent le nom du mathématicien allemand spécialisé en théorie des nombres Edmund Landau qui utilisa cette notation introduite primitivement par Paul Bachmann. La lettre O est utilisée parce que la course de la « croissance » d'une fonction est aussi appelée l'ordre.

On utilise couramment la notation petit o pour dénoter le caractère négligeable d'une fonction et la notation grand O pour dénoter le caractère dominé d'une fonction par rapport à une autre fonction.

Ces notations sont en concurrence avec celles de Hardy.

Notations de Hardy

Les notations de Hardy, introduites par G. H. Hardy, jouent le même rôle que celles de Landau pour la comparaison asymptotique des fonctions.

En notation de Landau, on peut les définir comme suit :

$f\preceq g \iff f \in O(g)$

$f\ll g \iff f\in o(g)~.$

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Définition formelle

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Utilisation des comparaisons

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