Compactifié d'Alexandroff

Compactifié d'Alexandroff

Soit X\,\! un espace topologique séparé et localement compact, mais non compact. On peut, en ajoutant un point à X\,\!, obtenir un espace compact. Pour cela, on considère \tilde{X} = X \cup \{\omega\}\omega \not\in X, et on définit une topologie de la manière suivante.

L'ensemble des ouverts de \tilde{X} est constitué par :

On vérifie que l'on définit bien ainsi une topologie sur \tilde X, et que la topologie initiale sur X\,\! est identique à la topologie induite sur X\,\! par cette topologie sur \tilde X.

On vérifie enfin que \tilde X muni de cette topologie est un espace compact.

L'espace \tilde X s'appelle alors le compactifié d'Alexandroff de l'espace localement compact X\,\! ; \omega\,\! s'appelle le point à l'infini de \tilde X et se note également \infty.

Sommaire

Exemples

Le compactifié d'Alexandroff de \mathbb R^n est homéomorphe à la n-sphère.

Par exemple le compactifié d'Alexandroff de \mathbb R est homéomorphe à un cercle, celui de \mathbb R^2 (ou \mathbb{C}) à une sphère, appelée communément sphère de Riemann.

Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point "à l'infini" : à l'infini la droite réelle se "referme" en un cercle.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

Le compactifié d'Alexandrov sur le site les-mathematiques.net


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Compactifié d'Alexandroff de Wikipédia en français (auteurs)

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