- Compactifié d'Alexandroff
-
Soit
un espace topologique séparé et localement compact, mais non compact. On peut, en ajoutant un point à , obtenir un espace compact. Pour cela, on considère 
où 
, et on définit une topologie de la manière suivante.L'ensemble des ouverts de
est constitué par :- les ouverts de ,
- les sous-ensembles de la forme
, où 
est le complémentaire dans X d'un compact 
de .
On vérifie que l'on définit bien ainsi une topologie sur
, et que la topologie initiale sur est identique à la topologie induite sur par cette topologie sur .On vérifie enfin que
muni de cette topologie est un espace compact.L'espace
s'appelle alors le compactifié d'Alexandroff de l'espace localement compact ; 
s'appelle le point à l'infini de et se note également 
.Sommaire
Exemples
Le compactifié d'Alexandroff de
est homéomorphe à la n-sphère.Par exemple le compactifié d'Alexandroff de
est homéomorphe à un cercle, celui de 
(ou 
) à une sphère, appelée communément sphère de Riemann.Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point "à l'infini" : à l'infini la droite réelle se "referme" en un cercle.
Voir aussi
Articles connexes
Lien externe
Le compactifié d'Alexandrov sur le site les-mathematiques.net
Catégories :- Compacité
- Théorème de mathématiques
- Construction classique
- les ouverts de
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