Compactification (mathematiques)
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Compactification (mathématiques)
En topologie, la compactification est un procédé général de plongement d'un espace topologique comme sous-espace dense d'un espace compact. Le plongement est appelé le compactifié. L'existence d'un tel plongement implique que l'espace doit être supposé régulier, en fait même complètement régulier .
En topologie générale, les plus célèbres compactifications sont :
- la compactification d'Alexandroff, permettant le prolongement de toute fonction continue admettant une limite en l'infini ; elle se fait par un seul point ajouté, et l'espace donné doit être localement compact pour cela soit possible ;
- la compactification de Stone-Čech, autorisant le prolongement au compactifié de toute fonction continue bornée ; cette compactification existe toujours si l'espace est complètement régulier ;
- et la compactification de Bohr pour les groupes topologiques, autorisant le prolongement au compactifié de toute fonction presque périodique.
Ces compactifications se définissent à unique homéomorphisme près. Elles peuvent se caractériser par des propriétés universelles : chacun de ces compactifiés se définit comme le spectre d'une algèbre fonctionnelle.
Néanmoins, d'un point de vue géométrique, une compactification consiste à ajouter des points à l'infini, et d'en définir les voisinages.
Spectre d'algèbres
Exemples de compactifications
Compactifié d'Alexandroff
Compactifié de Stone-Čech
Compactifié de Bohr
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Compactification (mathematiques) de Wikipédia en français (auteurs)
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