Coercivité

Coercivité

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction réelle est dite coercive si «elle tend vers l'infini à l'infini», éventuellement dans une partie spécifiée de l'ensemble de départ. Une définition analogue est utilisée pour les formes bilinéaires.

Sommaire

Définition

Une fonction f définie sur un espace normé X à valeurs dans \bar{\R}:=\R\cup\{-\infty,+\infty\} est dite coercive sur une partie non bornée P de X si

\lim_{\| x\|\to+\infty\atop x\in P}f(x)=+\infty.

Il revient au même de dire que les intersections avec P des ensembles de sous-niveau de la fonction sont bornées :

\forall\,\nu\in\R,\qquad\{x\in P: f(x)\leqslant\nu\}~\mbox{est borné.}

Si l'on ne spécifie pas la partie P, il est sous-entendu que P = X.

Cas d'une forme bilinéaire

Définition

Plus spécifiquement, une forme bilinéaire a:X\times X\to\R est dite coercive si elle vérifie :

\exists\,\alpha>0,\quad\forall\,x\in X:\qquad a(x,x) \geqslant \alpha\|x\|^2.

Certains auteurs préfèrent utiliser l'appellation X-elliptique pour cette dernière définition. Celle-ci intervient entre autres dans le théorème de Lax-Milgram et la théorie des opérateurs elliptiques, accessoirement dans la méthode des éléments finis.

Lien entre les définitions

Dans le cas où a est une forme bilinéaire, en posant f(u) = a(u,u) on a équivalence entre la coercivité de a et celle de f. En effet, \scriptstyle\lim_{\| x\|\to\infty}f(x)=+\infty implique qu'il existe R > 0 tel que \scriptstyle\|x\|\geqslant R\Rightarrow f(x)\geqslant 1. Ainsi,

\left(\frac{R}{\|u\|}\right)^2a(u,u)=a\left(\frac{R}{\|u\|}u,\frac{R}{\|u\|}u\right)=f\left(\frac{R}{\|u\|}u\right)\geqslant 1

et

a(u,u)\geqslant\left(\frac{\|u\|}{R}\right)^2.

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Coercivité de Wikipédia en français (auteurs)

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