Méthode de Galerkin

En mathématiques, dans le domaine de l'analyse numérique, les méthodes de Galerkin sont une classe de méthodes permettant de transformer un problème continu (par exemple une équation différentielle) en un problème discret. Cette approche est attribuée aux ingénieurs russes Ivan Boubnov (1911) et Boris Galerkine (1913).

Approximation de fonctions

Cette méthode est couramment utilisée dans la méthode des éléments finis.

On part de la formulation faible du problème. La solution appartient à un espace fonctionnel satisfaisant des propriétés de régularité bien définies. La méthode de Galerkin consiste à utiliser un maillage du domaine d'étude, et considérer la restriction de la fonction solution sur chacune des mailles.

D'un point de vue plus formel, on écrit la formulation faible sous la forme :

Trouver $u \in V$ telle que $\forall v \in V, a(u,v) = L(v)$

où $a$ est une forme bilinéaire, et $L$ une forme linéaire.

L'ensemble $V$ étant généralement de dimension infinie, on construit un espace $V_h \subset V$ avec ${\rm dim} V_h < + \infty$ , et on réécrit le problème de la façon suivante :

Trouver $u_h \in V_h$ telle que $\forall v_h \in V_h, a(u_h,v_h) = L(v_h)$

Typiquement, l'espace $V h$ considéré est l'ensemble des fonctions continues telles que la restriction de la fonction sur une maille soit un polynôme.

Propriétés

Orthogonalité de l'erreur

L'erreur

e h = u - u h

est montrée ici orthogonale à l'espace d'approximation

V h

L'une des propriétés notables des méthodes de Galerkin se trouvent dans le fait que l'erreur commise sur la solution $e h = u - u h$ est orthogonale aux sous-espaces d'approximation. En effet, les propriétés de la forme bilinéaire a donnent :

$\forall v_h \in V_h \ , \ a (e_h , v_h) = a (u - u_h , v_h) = a (u , v_h) - a (u_h , v_h) = L(v_h) - L(v_h) = 0$ .

Forme matricielle du problème

Du fait que l'espace d'approximation utilisé $V h$ est de dimension finie $n < +\infty$ , on peut décomposer la solution du problème de Galerkin sur une base de fonctions $\left\lbrace e_i \right\rbrace_{1 \leqslant i \leqslant n}$ de $V h$ :

$u_h = \sum_{j=1}^n u_j e_j$

Ainsi, en écrivant le problème en choisissant l'une des fonctions de base $v h = e i$ , il vient :

$a(u_h,e_i) = \sum_{j=1}^n u_j a(e_j,e_i) = L(e_i) \ , \ \forall i \in [ \! [ 1 , n ] \! ]$

On obtient ainsi un système d'équations linéaires de la forme $A u = l$ , en notant

$A = \left( a(e_j,e_i) \right)_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ , $u = \left( u_i \right)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ , $l = \left( L(e_i) \right)_{1 \leqslant i \leqslant n}$

Systèmes symétriques et positifs

Il apparait que si la forme bilinéaire $a$ est symétrique, la matrice $A$ est également symétrique. De même, $A$ est une matrice positive (définie positive) si $a$ l'est également.

Résultats sur la solution obtenue

Existence et unicité

Dans le cas où $a$ est symétrique, on peut montrer que la solution du problème existe et est unique si on a :

continuité de $a$ sur $V$

$\forall (u,v) \in V \times V , \, a (u,v) \leqslant C \|u\| \|v\|$

coercivité de $a$ sur $V h$

$\forall u \in V, \, a (u,u) \geqslant c \|u\|^2$

Il suffit alors d'appliquer le théorème de Lax-Milgram pour obtenir le résultat voulu.

Le caractère bien posé du problème écrit sur $V h$ en découle naturellement.

Qualité de l'approximation

En utilisant les mêmes propriétés de $a$ , ainsi que l'orthogonalité de l'erreur, on obtient l'inégalité pour tout v_h \in V_h :

$c \| u - u_h \|^2 \leqslant a (u - u_h, u - u_h) \leqslant a (u - u_h, u - v_h) \leqslant C \| u - u_h \| \| u - v_h \|$ .

En divisant par $\| u - u_h \|$ et en passant à la borne inférieure à droite, on obtient le lemme de Céa :

$\| u - u_h \| \leqslant \frac{C}{c} \inf_{v_h \in V_h} \| u - v_h \|$

Ainsi, à la constante $C / c$ près, la solution obtenue par la méthode de Galerkin est une des meilleures qu'on puisse obtenir par approximation sur $V h$ .

Voir aussi

Méthode des éléments finis
Méthode de Galerkin discontinue (en)

Référence

(en) Philippe Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems, avril 2002 (ISBN 9780898715149)

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Méthode mathématique
Équations différentielles numériques

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