Coefficient de Poisson

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Mis en évidence (analytiquement) par Siméon Denis Poisson, le coefficient de Poisson (aussi appelé coefficient principal de Poisson) permet de caractériser la contraction de la matière perpendiculairement à la direction de l'effort appliqué.

Illustration pour coefficient de Poisson.PNG

Sommaire

1 Définition
2 Relations
- 2.1 Cas d'un matériau isotrope
- 2.2 Cas d'un stratifié (isotrope transverse)
3 Quelques valeurs numériques de coefficients de Poisson
4 Voir aussi

Définition

$\nu = \frac\mbox{contraction transversale unitaire}\mbox{allongement axial unitaire} = \frac{(l_0-l)/l_0}{(L-L_0)/L_0}$

Le coefficient de Poisson fait partie des constantes élastiques. Il est compris entre -1 et 0,5. Les valeurs expérimentales obtenues dans le cas d'un matériau parfaitement isotrope sont très proches de la valeur théorique (1/4). Pour un matériau quelconque, on obtient en moyenne 0,3. Il existe également des matériaux à coefficient de Poisson négatif : on parle alors parfois de matériaux auxétiques.

Relations

Cas d'un matériau isotrope

Le changement de volume ΔV/V dû à la contraction du matériau peut être donné par la formule (uniquement valable pour de petites déformations) :

$\frac {\Delta V} {V_0} = (1-2\nu)\frac {\Delta L} {L_0}$

Démonstration

Soit un cube constitué d'un matériau isotrope d'un volume initial $V_0=L_0^3=l_0^3$ , et de volume final $V=L \cdot l^2$ .
La loi de Poisson s'écrit alors :

$\nu = \frac{(L_0-l)/L_0}{(L-L_0)/L_0} \Rightarrow l=L_0-\nu\Delta L$

D'où le volume final du cube :

$V=L.l^2=L(L_0-\nu\Delta L)^2=L.L_0^2-2\nu\Delta L L_0 L+L \nu^2\Delta L^2$

en divisant cette relation par le volume initial $V_0=L_0^3$ :

$\dfrac{V}{V_0} = \dfrac{L}{L_0} - 2\nu\dfrac{\Delta L L}{L_0^2} + \nu^2\dfrac{\Delta L^2 L}{L_0^3}$

On fait maintenant apparaître l'expression $\frac {\Delta V} {V_0}$ :

$\dfrac{V}{V_0} = \dfrac{V-V_0+V_0}{V_0} = \dfrac{V-V_0}{V_0} + 1 = \dfrac{\Delta V}{V_0} + 1$

D'où:

$\dfrac{\Delta V}{V_0} = \dfrac{L}{L_0} - 2\nu\dfrac{\Delta L L}{L_0^2} + \nu^2\dfrac{\Delta L^2 L}{L_0^3} -1$

$\dfrac{\Delta V}{V_0} = \dfrac{\Delta L}{L_0} - 2\nu\dfrac{\Delta L L}{L_0^2} + \nu^2\dfrac{\Delta L^2 L}{L_0^3}$

$\dfrac{\Delta V}{V_0} = \dfrac{\Delta L}{L_0}(1 - 2\nu\dfrac{L}{L_0} + \nu^2\dfrac{\Delta L L}{L_0^2})$

L'hypothèse de petites déformations permet de négliger les termes du second ordre. En approximant $\dfrac{L}{L_0}=1$ , on obtient:

$\dfrac{\Delta V}{V_0} = (1 - 2\nu)\dfrac{\Delta L}{L_0}$

Le module d'élasticité isostatique ( $K$ ) est lié au Module de Young ( $E$ ) par le coefficient de Poisson au travers de la relation :

$K=\frac{1}{3}\frac{E}{(1-2\nu)}$

Cette relation montre que $ν$ doit rester inférieur à 1/2 pour que le module d'élasticité isostatique reste positif (sinon le matériau gonflerait dès qu'on essayerait de le comprimer). On note également les valeurs particulières de ν :

pour ν = 0,33 on a K = E.
pour ν → 0,5 on a K → ∞ incompressibilité (cas du caoutchouc, par exemple)

Avec le module de Young ( $E$ ) exprimé en fonction du module de cisaillement ( $G$ ) et de $ν$ :

$E = 2(1+\nu)\cdot G$ .

Cette relation met en évidence le fait que $ν$ ne peut être inférieur à -1, sinon son module de cisaillement serait négatif (il serait sollicité en traction dès qu'on le comprimerait!)

Cas d'un stratifié (isotrope transverse)

Un coefficient secondaire de Poisson est alors défini par la relation suivante :

$\frac{E_1}{\nu_{12}}=\frac{E_2}{\nu_{21}}$

Où $E 1$ et $E 2$ sont les modules de Young des matériaux et $ν 21$ est le coefficient secondaire de Poisson.

Quelques valeurs numériques de coefficients de Poisson

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. Néanmoins, pour les calculs, on peut considérer en bonne approximation les valeurs suivantes. Le coefficient de Poisson n'a pas d'unité!

Métaux purs
Matériaux	Coef
Aluminium (Al)	0,33
Béryllium (Be)	0,032
Bore (B)	0,21
Cuivre (Cu)	0,33
Fer (Fe)	0,21 - 0,259
Magnésium (Mg)	0,35
Or (Au)	0,42
Plomb (Pb)	0,44
Titane (Ti)	0,34

Alliages
Matériaux	Coef
Acier de construction	0,27 - 0,30
Acier inoxydable	0,30 - 0,31
Fontes	0,21 - 0,26
Laiton	0,37

Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
Matériaux	Coef
Argile humide	0,40 - 0,50
Béton	0,20
Sable	0,20 - 0,45
Carbure de silicium (SiC)	0,17
Si₃N₄	0,25
Verre	0,18 - 0,3

Polymères, fibres
Matériaux	Coef
Caoutchouc	~ 0,5
Liège	~ 0,00
Mousse	0,10 - 0,40
Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle)	0,40 - 0,43

Voir aussi

v · Module de Young ( $E$ ) • Module de cisaillement ( $G$ ) • Module de compression ( $K$ ) • Premier coefficient de Lamé ( $λ$ ) • Coefficient de Poisson ( $ν$ ) • Module d'onde de compression ( $M$ , P-wave modulus)

Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.
	$(\lambda,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda)$	$(K,\,G)$	$(\lambda,\,\nu)$	$(G,\,\nu)$	$(E,\,\nu)$	$(K,\, \nu)$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda+ \tfrac{2G}{3}$	$\tfrac{EG}{3(3G-E)}$			$\tfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}$	$\tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}$	$\tfrac{E}{3(1-2\nu)}$			$M - \tfrac{4G}{3}$
$E=\,$	$\tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G}$		$\tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}$	$\tfrac{9KG}{3K+G}$	$\tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}$	$2G(1+\nu)\,$		$3K(1-2\nu)\,$		$\tfrac{G(3M-4G)}{M-G}$
$\lambda=\,$		$\tfrac{G(E-2G)}{3G-E}$		$K-\tfrac{2G}{3}$		$\tfrac{2 G \nu}{1-2\nu}$	$\tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K\nu}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K-E)}{9K-E}$	$M - 2G\,$
$G=\,$			$\tfrac{3(K-\lambda)}{2}$		$\tfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}$		$\tfrac{E}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3KE}{9K-E}$
$\nu=\,$	$\tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)}$	$\tfrac{E}{2G}-1$	$\tfrac{\lambda}{3K-\lambda}$	$\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)}$					$\tfrac{3K-E}{6K}$	$\tfrac{M - 2G}{2M - 2G}$
$M=\,$	$\lambda+2G\,$	$\tfrac{G(4G-E)}{3G-E}$	$3K-2\lambda\,$	$K+\tfrac{4G}{3}$	$\tfrac{\lambda(1-\nu)}{\nu}$	$\tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu}$	$\tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}$

Catégorie :

Mécanique des milieux continus

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