Circonscrit (géométrie)

Cercle circonscrit

Cercles circonscrits à des triangles

En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle passant par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible. Les sommets sont alors cocycliques, situés sur un même cercle. Ce cercle est unique et son centre est le point d'intersection des médiatrices des côtés.

De manière plus générale, on parle de cercle circonscrit à une surface bornée dans le cas d'un cercle de plus petit rayon possible contenant la surface.

Cas particuliers

Triangle

Tout triangle est inscriptible, c'est-à-dire qu'il possède un cercle circonscrit.

Le centre du cercle circonscrit est donné par l'intersection des trois médiatrices de ce triangle.

Rayon du cercle circonscrit

On considère un triangle quelconque ABC, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

a = BC et α = angle formé par [AB] et [AC] ;
b = AC et β = angle formé par [BA] et [BC] ;
c = AB et γ = angle formé par [CA] et [CB].

R est le rayon du cercle circonscrit.

Alors, d'après la loi des sinus on a :

$\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R$ .

Ce qui permet de déterminer le rayon du cercle circonscrit :

$R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{BC}{2\sin \widehat{BAC}}$ .

Triangle rectangle

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a la particularité d'admettre pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle rectangle. Le centre du cercle circonscrit se trouve donc au milieu de l'hypoténuse. Son rayon vaut :

$R = {\text{hypot} \acute \text{e} \text{nuse} \over 2} = {\sqrt{\text{c} \hat \text{ot} \acute \text{e} \ \text{oppos} \acute \text{e}^2 + \text{c} \hat \text{ot} \acute \text{e} \ \text{adjacent}^2} \over 2}\,$

On note également que tout triangle inscrit dans un cercle et dont le plus long côté est un diamètre de ce cercle est un triangle rectangle, d'après le théorème de Thalès.

Triangle tangentiel

Pour un triangle ABC, de cercle circonscrit (c), les tangentes à (c) en A, B, C forment un triangle T₁T₂T₃ dit tangentiel de ABC.

Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.
Elles sont concourantes et leur point de concours est le point de Lemoine.

Voir aussi

Liste des éléments remarquables d'un triangle

Quadrilatère

Figure du théorème de Ptolémée.

Un quadrilatère est inscriptible si les quatre sommets sont cocycliques.

Un quadrilatère est inscriptible si, et seulement si, deux angles opposés sont égaux ou supplémentaires :

un quadrilatère croisé est inscriptible si, et seulement si, deux angles opposés sont égaux.
un quadrilatère convexe est inscriptible si, et seulement si, deux angles opposés sont supplémentaires.

Théorème de Ptolémée : un quadrilatère convexe est inscriptible si, et seulement si, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés

Rectangle

Tout rectangle (et donc tout carré) possède un cercle circonscrit dont le centre se trouve à l'intersection de ses diagonales, et dont le rayon vaut, comme pour le triangle rectangle:

$R = {\sqrt{\text{Longueur}^2+\text{largeur}^2} \over 2}\,$

Pour le cas du carré, Longueur = largeur donne:

$R = {\sqrt{\text{Longueur}^2+\text{Longueur}^2} \over 2} = \text{Longueur}\cdot {\sqrt{2} \over 2}\,$

Cette propriété dérive de celle du triangle, par symétrie.

Losange

Un losange qui n'est pas un carré ne possède pas de cercle circonscrit.

Voir aussi

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