Chiralité (Mathématiques)

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La chiralité (du grec ch[e]ir : main) est une importante propriété d’asymétrie dans diverses branches de la science.

Un objet ou un système est appelé chiral s’il constitue l’image miroir d’un autre objet ou système avec lequel il ne se confond pas. De tels objets se présentent alors sous deux formes, qui sont l’image miroir l’une de l'autre, et ces paires d’images miroirs sont appelées énantiomorphes (du grec formes opposées) ou, en se référant à des molécules, des énantiomères.

Un objet non chiral est dit achiral. Il est isomorphe à son miroir avec lequel il partage les mêmes propriétés géométriques, c’est-à-dire qu’il existe un isomorphisme de l’espace dans lequel il est défini, qui transforme l'objet en lui-même.

En règle générale, les objets chiraux sont infiniment plus nombreux que les objets achiraux qui constituent des cas particuliers, souvent isolés et énumérables selon les symétries qui les définissent, mais on peut les classer en un nombre fini de classes. Dans l’espace euclidien tridimentionnel, les objets géométriques finis se répartissent alors en :

• objets chiraux dextrogyres, qui sont les images miroirs d’objets chiraux lévogyres dans une transformation isométrique ; par exemple une main droite.
• objets chiraux lévogyres, qui sont les images miroirs d’objets chiraux dextrogyres dans une transformation isométrique ; par exemple une main gauche.
• objets achiraux (parfois aussi appelés ambidextres), qui sont les images miroirs d’eux-mêmes dans une transformation isométrique ; par exemple la plupart des chaussettes uniformes jamais portées.

Chiralité en chimie

En chimie, un composé chimique est chiral s'il n'est pas superposable à son image dans un miroir. Si une molécule est chirale, elle possède deux formes énantiomères : une lévogyre (« qui tourne à gauche », en latin laevus : gauche) et une dextrogyre (« qui tourne à droite », en latin dextro : droite) qui font tourner un rayonnement polarisé de manière opposée.

Chiralité en mathématique

En mathématiques, un polyèdre est chiral s'il n'est pas superposable à son image dans un miroir. Un objet chiral et son image miroir sont dits être énantiomorphes. Le mot chiralité est dérivé du grec χειρ (cheir), la main, l'objet chiral le plus familier; le mot énantiomorphe semble être du grec εναντιος (enantios) 'opposé' et μορφη (morphe) 'forme'. Une figure non-chirale est appelée achirale. Si un polyèdre est chiral, il possède deux formes énantiomorphes : une lévogyre (« qui tourne à gauche », en latin laevus : gauche) et une dextrogyre (« qui tourne à droite », en latin dexter : droit), comme les deux cubes adoucis ci-dessous.

Forme chirale

La chiralité peut être comparée à un simple problème de gants. Tous les enfants ont déjà été confrontés à un problème de chiralité en mettant la main droite dans le gant gauche et inversement. Un gant est un objet chiral car il n'est pas superposable à son image dans un miroir. Tout comme les pieds.

La distribution d'éléments différents dans l'espace, par exemple autour d'un point, peut conduire à des situations non identiques, donc des objets différents. Ainsi les dés à jouer sont des objets chiraux : la règle de construction veut que la somme des faces opposées soit égale à sept. Posons le six sur la face supérieure et par conséquent le un sur la face inférieure, puis le cinq devant donc le deux derrière. Il reste deux façons non équivalentes de terminer : le quatre à gauche et le trois à droite, ou inversement. On obtient deux formes énantiomorphes images l'un de l'autre dans le miroir.

L’hélice (et par extension les cordes/ficelles tournées, pas de vis, tire-bouchons, poignées de porte, etc) et le ruban de Möbius, de même que les tétrominos de forme S et Z du jeu vidéo populaire Tetris, montrent aussi la chiralité, bien que ces derniers soient seulement en deux dimensions.

Beaucoup d’autres objets familiers montrent la même symétrie chirale du corps humain (ou énantiomorphe) — gants, verres, chaussures, jambes d'une paire de bas, ciseaux, guitare, etc. — Une notion de chiralité similaire est considérée en théorie des nœuds, comme expliqué ci-dessous. Ou encore en biochimie pour la conformation et la réplication des protéines et pour expliquer le comportement pathogène et difficile à traiter de certains virions ou de maladies auto-immunes, et en physique subnucléaire pour les phénomènes de spin.

Chiralité et groupe de symétrie

Une figure est achirale si et seulement si son groupe de symétrie contient au moins une isométrie de renversement d'orientation. (En géométrie euclidienne, toute isométrie peut être écrite comme avec une matrice orthogonale A et un vecteur b. Le déterminant de A est alors soit 1 ou -1. Si c'est -1, l'isométrie est un renversement d'orientation, autrement, elle est une conservation d'orientation).

Chiralité dans trois dimensions

En trois dimensions, chaque figure qui possède un plan de symétrie ou un centre de symétrie est nécessairement achirale :

• Un plan de symétrie d'une figure F est un plan P, tel que F est invariant avec l’application , lorsque P est choisi comme étant le plan x-y du système de coordonnées.
• Un centre de symétrie d’une figure F est un point C, tel que F est invariant par l’application , lorsque C est choisi comme étant l’origine du système de coordonnées).

Notes:

• Il existe néanmoins des figures achirales qui manquent de plan et/ou de centre de symétrie.
  1. Un exemple est la figure :

     

     qui est invariante sous l’isométrie de renversement d’orientation et ainsi achirale, mais elle ne possède ni plan, ni centre de symétrie.

  2. La figure

     

     est aussi achirale, comme l’origine est un centre de symétrie, mais elle manque de plan de symétrie.

• Les figures achirales peuvent aussi avoir un axe de centre.

Chiralité en deux dimensions

En deux dimensions, chaque figure qui possède un axe de symétrie est achirale, et il peut être montré que chaque figure achirale bornée doit avoir un axe de symétrie. (Un axe de symétrie d'une figure F est une droite L, tel que F est invariante par l'application , lorsque L est choisie comme étant l'axe x du système de coordonnées).

Considérons le motif suivant :

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 < < < < < < < < < <

Cette figure est chirale, elle n’est pas identique à son image miroir suivant un axe ou l’autre :

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Mais, si on prolonge le motif dans deux directions vers l'infini, on récupère une figure achirale (non-bornée) qui ne possède pas d'axe de symétrie. Son groupe de symétrie est un groupe de frise engendré par une anti-translation.

Théorie des nœuds

Un nœud est appelé achiral (ou amphichiral) s’il peut être déformé continument en son image miroir, autrement, il est appelé chiral. Par exemple, le non-nœud et le nœud de Listing sont achiraux, alors que le nœud de trèfle est chiral.

Chiralité en physique

En physique

Un champ vectoriel a la symétrie miroir : Exemple : le champ électrique produit par un « électron miroir » est l'image dans le miroir du champ produit par l'électron. En revanche le champ magnétique produit par le mouvement de l'« électron miroir » est inversé : le champ magnétique Bm derrière le miroir s'obtient en prenant l'antisymétrique du champ B devant le miroir. Cela provient de la définition du champ magnétique par un produit vectoriel ; le produit vectoriel n'est pas un vecteur, mais un tenseur antisymétrique qui ne comporte que trois composantes non nulles dans un espace à trois dimensions et qui peut donc être représenté par trois composantes : un pseudo-vecteur.

En physique des particules

Les lois fondamentales de la physique doivent être chirales, sauf l'interaction faible qui n'est pas invariante dans la symétrie miroir sauf à remplacer les particules par leurs antiparticules ; la désintégration du kaon semble ne pas vérifier cette symétrie.

La chiralité est importante en physique des particules du fait que l'univers est asymétrique pour les spins.

Or jusqu'à présent, les neutrinos détectés ont une hélicité Left (valeur de spin projeté sur la direction du mouvement = -1/2 < 0 ) et les antineutrinos une hélicité Right (valeur de spin projeté sur la direction du mouvement = +1/2 > 0) ; on peut comprendre cette rupture de la parité (invariance pour l'inversion du système de coordonnées spatiales) par le fait que le neutrino a une masse quasiment nulle (donc un comportement cinématique proche de celui de la lumière dans les laboratoires) et n'interagit que par la force faible.

Voir aussi

• Chiralité (chimie)
• Orientation (mathématiques)

Lien externe

• (histoire des sciences) le pouvoir rotatoire des solutions chirales (Fresnel 1822) analysé sur le site BibNum.

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