Centre de masse

Barycentre (physique)

Pour les articles homonymes, voir Barycentre.

En physique et en mécanique, le barycentre (ou centre de masse) d’un solide est le centre des poids.

La notion est également utilisée en astronomie

En mécanique du solide, on parle spécifiquement de moment : moment d'inertie, moment cinétique.

Sommaire

1 Historique
2 Développement mathématique
3 Développements physiques
4 Astronomie
5 Localisation du centre de gravité d'une plaque à deux dimensions
6 Voir aussi
- 6.1 Articles connexes
- 6.2 Liens externes

Historique

Le barycentre de barus (poids) et centre est initialement le centre des poids. C'est donc une notion physique et mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids (ce qu'on appelle de nos jours le centre de gravité) est le mathématicien et physicien Archimède. Il est un des premiers à comprendre et expliciter le principe des moments, le principe des leviers et le principe du barycentre. Il écrit dans son traité Sur le centre de gravité de surface plane:

« Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré. »

Son principe des moments et des leviers lui permet de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masses $m 1$ et $m 2$ différentes.

Pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments $m_1\cdot OA$ et $m_2\cdot OB$ soient égaux. Si par exemple la masse $m 1$ est 4 fois plus importante que la masse $m 2$ , il faudra que la longueur OA soit 4 fois plus petite que la longueur OB. Cette condition se traduit de nos jours par l'égalité vectorielle

$m_1\cdot\overrightarrow{OA}+ m_2\cdot\overrightarrow{OB}=\vec 0$

Il est le premier à avoir cherché des centres de gravité de surface comme des demi-disques, des paraboles. Il procède par approximations successives et a pu prouver que la recherche d'un centre de gravité utilise des méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Son travail est prolongé par celui de Paul Guldin (1635/1640) dans son traité Centrobaryca et celui de Leibniz à qui l'on doit la fonction vectorielle de Leibniz.

La notion de centre d'inertie G pour un système non solide est une notion dégagée par Christiaan Huygens (1654), lors de l'établissement de sa théorie des chocs : même s'il sait que P = P₀, il n'est pas évident pour lui que G ira à vitesse constante. En particulier au moment de la percussion, où des forces quasi-infinies entrent en jeu, avec éventuellement bris de la cible, G n'en continue pas moins imperturbé son mouvement : cela paraît mirifique à Huygens, qui ne connaît pas encore le calcul différentiel. C'est alors qu'il énonce le principe de mécanique :

« Le barycentre d'un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. »

On peut remarquer le glissement subtil entre barycentre, centre des poids (= centre de gravité) comme le voyait Archimède et barycentre, centre des masses (= centre d'inertie).

Développement mathématique

Article détaillé : barycentre (géométrie affine).

Les mathématiques généralisent la construction d'Archimède du point d'équilibre de deux points affectés de deux masses positives progressivement à des ensembles plus complexes. Les coefficients peuvent être négatifs : Le barycentre des points A et B affectés des masses a et b (a + b non nul) est l'unique point G tel que

$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \vec 0$ .

Les coordonnées de G sont alors

$x_G = \frac{ax_A+bx_B}{a+b} \quad y_G = \frac{ay_A+by_B}{a+b}\quad z_G = \frac{az_A+bz_B}{a+b}$

Le nombre de points peut passer à trois points, quatre points et se généraliser à n points. Si la somme des masses $a i$ est non nulle, le barycentre du système $\left \{(A_i,a_i)\right \}_{i\in\{1; n\}}$ est le point G tel que

$\sum_{i = 1}^n a_i\overrightarrow{GA_i} = \vec 0$ .

Les coordonnées sont données par les formules, pour j variant de 1 à la dimension de l'espace

$x_{j,G} = \frac{\sum_{i = 1}^n a_i x_{j,A_i} }{\sum_{i = 1}^n a_i }$

C'est sous cette forme qu'il devient un outil puissant en géométrie affine.

Le nombre de points peut même devenir infini, permettant de trouver le barycentre d'une courbe ou d'une surface.

Si l'ensemble constitue un domaine D continu, à chaque point M du domaine on affecte une densité g(M) où g est une fonction continue (un champ scalaire). Le barycentre est alors le point G tel que

$\int_D g(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm dv = \vec 0$ dans l'espace ou $\int_D g(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm ds = \vec 0$ dans le plan .

Si les points M ont pour coordonnées $(x 1; x 2, x 3)$ la fonction de densité s'écrit $g (x 1, x 2, x 3)$ et les coordonnées de G s'écrivent

$x_{j,G} = \frac{\iiint g(x_1 , x_2 , x_3) \cdot x_j~\mathrm dx_1\mathrm dx_2 \mathrm dx_3}{\iiint g(x_1 , x_2 , x_3)~\mathrm dx_1\mathrm dx_2 \mathrm dx_3},\quad j \in \{1,2,3\}$

Si l'on se ramène à une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on retrouve la formule de la moyenne pondérée :

$x_G = \frac{\int g(x)\cdot x~\mathrm dx}{\int g(x)~\mathrm dx}$

Développements physiques

Centre d'inertie

En mécanique, le centre d'inertie d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie.

Dans le cas d'un corps continu $\mathcal{C}$ , on emploie comme fonction de pondération la masse volumique ρ du corps. Dans ce cas, la position du centre d'inertie $G$ est défini par la relation suivante ( $O$ étant un point quelconque de l'espace) :

$\overrightarrow{OG}=\frac{\int_{\mathcal{C}}\rho(M)\overrightarrow{OM}~\mathrm dV}{\int_{\mathcal{C}}\rho(M)~\mathrm dV}$ ou $\int_{\mathcal{C}} \rho(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm dV=0$

Le centre d'inertie ne dépend donc que de la masse volumique et de la forme du corps. C'est une caractéristique intrinsèque.

Une propriété étonnante du centre d'inertie est que son mouvement est parfaitement déterminé par les lois du mouvement, quoi qu'il arrive à ses composants aussi longtemps que ceux-ci ne subissent pas eux-mêmes de force nouvelle. Ainsi par exemple si un obus éclate en vol, le centre d'inertie de ses fragments continue à suivre imperturbablement une parabole comme si de rien n'était (aux effets de résistance de l'air près) avant, pendant et après l'explosion. Attention : ceci ne s'applique évidemment pas à un obus balistique ou un astéroïde, précisément parce que la force sur chaque éclat d'obus varie.

Centre de gravité

Article détaillé : Centre de gravité.

Le centre de gravité d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par son poids propre.

La position du centre de gravité $G g$ est défini par la relation suivante ( $\vec{g}(M)$ étant le champ de gravité au point M):

$\int_{\mathcal{C}} \overrightarrow{G_gM} \wedge \rho(M)\vec{g}(M)~\mathrm dV=\vec{0}$

Le centre de gravité est fondamentalement lié au champ de gravité dans lequel le corps est plongé. Il n'existe pas forcément !

Très souvent en mécanique, la dimension des corps étant faible devant la rotondité de la terre, on considère un champ de gravité uniforme. Sous cette hypothèse, le centre de gravité et le centre d'inertie sont confondus.

Méthode graphique

Dans le cas d'un assemblage composé de pièces dont on connaît la masse et le centre de gravité, on peut déterminer le centre de gravité de l'ensemble avec la méthode du dynamique et du funiculaire :

on détermine la résultante des différents poids avec un premier funiculaire, la pièce étant dans une position donnée ;
on effectue un second funiculaire en considérant les « poids horizontaux », ce qui revient à tourner la pièce d'un quart de tour.

Astronomie

Animation impliquant 2 corps de faible différence de masse. Le barycentre se trouve à l'extérieur du corps principal comme dans le cas du couple Pluton/Charon.

On parle de barycentre en ce qui concerne le couple formé par un corps stellaire possédant un satellite. Le barycentre est le point autour duquel l'objet secondaire gravite. Si la plupart des couples connus possède leur barycentre à l'intérieur de l'objet principal, il existe des exceptions notables :

Le cas du couple Pluton/Charon : la différence de masse entre ces deux corps est relativement faible, le barycentre se trouve donc à l'extérieur de Pluton. Pour certains astronomes, plutôt que de parler de planètes et de satellites, il conviendrait dans ce cas précis de retenir la notion de « planète double ».
Plusieurs astéroïdes reproduisent le cas de figure ci-dessus.
Le barycentre du couple Jupiter/Soleil se trouve à l'extérieur de ce dernier à environ un rayon solaire de distance.
On retrouve aussi cette particularité chez certaines étoiles doubles

Localisation du centre de gravité d'une plaque à deux dimensions

Cette méthode est utile lorsque l'on souhaite trouver le centre de gravité d'un objet plan dont la forme est complexe et dont on ne connait pas les dimensions exactes.


Étape 1: Une plaque de forme arbitraire.	Étape 2: Suspendre la plaque en un point proche d'un sommet et attendre la position d'équilibre. À l'aide d'un fil à plomb, tracer la verticale passant par ce point.	Étape 3: Suspendre la plaque en un autre point et tracer une seconde verticale. Le centre de gravité est à l'intersection des deux droites.

Voir aussi

Liens externes

Une vidéo explicative sur la détermination expérimentale du centre de masse d'un solide

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Catégories : Mécanique | Géométrie affine

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