Aire et centre de masse d'un polygone

Aire et centre de masse d'un polygone

En géométrie, l'aire d'un polygone est la mesure de la superficie de la région délimitée par le polygone. En mécanique, le centre de masse d'un polygone, interprété comme centre de masse d'une plaque homogène polygonale, est le point autour duquel la masse est uniformément répartie. Pratiquement, dans le cas d'un champ de pesanteur uniforme, le centre de masse est confondu avec le centre de gravité.

L'aire et le centre de masse d'un polygone peuvent se calculer à l'aide du calcul intégral, mais pour un polygone simple (d'un seul tenant et sans intersection) il existe des formules plus simples.

Sommaire

Polygone simple

Si un polygone simple a pour sommets les points A0, A1, …, An = A0 et si Ai a pour coordonnées (xi , yi ) alors[1]

  • l'aire du polygone (considérée comme un nombre positif si les sommets sont ordonnés dans le sens trigonométrique et négatif dans le cas contraire) est donnée par :
A = \frac12\sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)~,
  • les coordonnées (xG,yG) du centre de masse s'expriment par :
x_G=\frac1{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)~,
y_G=\frac1{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)~.

Polygones réguliers

Pour un polygone régulier avec n côtés de longueur c, l'aire A est donnée par :

A=\frac{n c^2}{4\tan(\pi/n)}

Voir aussi

Notes et références

  1. ↑ (en) Calculating the area and centroid of a polygon sur le site de Paul Bourke, University of Western Australia

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