Bilan thermique

On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La première définition est aussi la première dans l'histoire. La seconde est venue ensuite, grâce aux travaux pionniers de Ludwig Boltzmann.

Avec la physique statistique, dont elle est désormais une partie, la thermodynamique est l'une des grandes théories sur lesquelles se fonde la compréhension actuelle de la matière.

Sommaire 1 Histoire de la thermodynamique 2 Science de la chaleur et des machines thermiques 2.1 Chaleur et température 2.2 Machines thermiques 2.2.1 Exemples 3 Science des grands systèmes en équilibre 4 Principes 5 Grandeurs extensives et intensives 6 Voir aussi 6.1 Articles connexes 6.2 Liens externes 7 Bibliothèque virtuelle 8 Bibliographie 8.1 Vulgarisation 8.2 Ouvrages de référence 8.3 Initiation à la physique statistique 8.4 Niveau second cycle universitaire 8.5 Aspects historiques

Histoire de la thermodynamique

Science de la chaleur et des machines thermiques

Les notions de chaleur et de température sont les plus fondamentales de la thermodynamique. On peut définir la thermodynamique comme la science de tous les phénomènes qui dépendent de la température et de ses changements.

Chaleur et température

Chacun a une connaissance intuitive de la notion de température. Un corps est chaud ou froid, selon que sa température est plus ou moins élevée. Mais une définition précise est plus difficile. L’un des grands succès de la thermodynamique classique au XIX^e siècle, est d'avoir donné une définition de la température absolue d’un corps, qui a mené à la création de l'échelle kelvin. Celle-ci donne la température minimale pour tous les corps : zéro kelvin, soit -273,15°C. Il s'agit du zéro absolu, dont le concept apparaît pour la première fois en 1702 avec le physicien français Guillaume Amontons.

La chaleur est plus difficile à définir. Une ancienne théorie, défendue notamment par Lavoisier, attribuait à un fluide spécial (invisible, impondérable ou presque) les propriétés de la chaleur, le calorique, qui circulerait d’un corps à un autre. Plus un corps est chaud, plus il contiendrait de calorique. Cette théorie est fausse au sens où le calorique ne peut pas être identifié à une quantité physique conservée. La thermodynamique définit la chaleur comme un transfert d'énergie désordonnée d'un système avec le milieu extérieur. En effet l'énergie thermique correspond à l'énergie cinétique de molécules se déplaçant et subissant des chocs de manière aléatoire. L'énergie transférée est dite désordonnée au niveau microscopique, par opposition au transfert d'énergie ordonnée au niveau macroscopique réalisé par le biais d'un travail.

Machines thermiques

La thermodynamique classique a pris son essor comme science des machines thermiques ou science de la puissance motrice du feu.

Sadi Carnot a initié les études modernes des machines thermiques dans un mémoire fondateur, Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance (1824). Le cycle de Carnot, étudié dans ce mémoire, reste le principal exemple théorique d’étude des machines thermiques. Plutôt que « puissance motrice », on dit aujourd’hui que les machines thermiques fournissent un travail, et on s’interroge sur la façon d’utiliser la chaleur pour produire du travail continu.

La chaleur est produite par le mouvement des corps macroscopiques. Il suffit de frotter ses mains pour s’en rendre compte. Inversement, la chaleur peut mettre des corps macroscopiques en mouvement. On peut les appeler des machines à feu ou machines thermiques. Systèmes macroscopiques, elles conservent leur mouvement tant qu’une différence de température entre une partie chaude et une partie froide est maintenue.

Exemples

Cette section présente quelques exemples où la puissance thermique joue un rôle.

• Une bougie allumée met en mouvement l’air qui l’entoure. Un courant ascendant est créé au-dessus de la flamme. Il est perpétuellement renouvelé par un courant d’air froid arrivant par en dessous. On peut les observer dans une pièce calme avec une plume de duvet ou en approchant une autre flamme. Il s'agit d'un courant de convection.

• L’eau dans une casserole sur le feu se met en mouvement comme l’air au-dessus de la bougie et comme tous les fluides au-dessus de surfaces suffisamment chaudes. Si on met un couvercle, un nouveau phénomène se produit. La vapeur soulève le couvercle, qui retombe ensuite pour être à nouveau soulevé, sans cesse jusqu’à épuisement du feu ou de l'eau, donc de la production de vapeur. On raconte que cette simple observation, que l’on peut faire dans toutes les cuisines, est liée à l’invention des machines à vapeur. Le mouvement du couvercle est trop petit pour être intéressant. Il s’arrête aussitôt commencé, car la vapeur qui le pousse s’échappe tout de suite. Mais si on met le couvercle dans un cylindre, on obtient un piston qui peut être poussé par la vapeur ou tout autre gaz sur une longue course. Les machines à vapeur et les moteurs thermiques ne sont pas toujours construits sur le principe du piston et du cylindre. Les autres solutions ne sont pas très différentes. On peut considérer que l’expérience du couvercle de la casserole est à l’origine des inventions de tous les moteurs thermiques.

• Avant les travaux de Sadi Carnot, les hommes connaissaient la turbine à vapeur. Elle se compose d'une boule de métal en rotation sur un axe. L’eau qu’elle contient est chauffée par en dessous. Deux jets de vapeur tangentiels et opposés mettent alors la boule en mouvement. Ce système n’a pas été amélioré avant les temps modernes. Les réacteurs des avions d’aujourd’hui (turbines à gaz) fonctionnent en grande partie sur le même principe que cet ancêtre de la turbine.

• La puissance motrice du feu a été beaucoup plus développée pour faire des armes. La balle, l’obus, ou tout autre projectile, est poussé dans le canon par un gaz très chaud produit par la combustion de la poudre ou de tout autre explosif. Le canon forme un cylindre dans lequel circule un projectile qui forme le piston.

• Les fluides de la surface terrestre, l’atmosphère et les océans, sont mis en mouvement par la chaleur du Soleil. Pour les océans, la gravitation joue aussi un rôle dans les marées. La puissance du vent est donc une forme de la puissance motrice du feu.

Science des grands systèmes en équilibre

Définir la thermodynamique comme la science de l’équilibre des grands systèmes est une approche à la fois très rigoureuse et très générale.

Équilibre statistique et loi des grands nombres

Si l’on jette un même dé, bien équilibré, un grand nombre de fois, on est sûr par avance que les fréquences d’apparition de chacune des faces seront proches d'un sixième. Plus le nombre de lancers est grand, plus les fréquences sont égales parce que le dé « explore » également toutes les possibilités qui lui sont offertes. La même chose se produit si on verse une goutte de colorant dans un verre d’eau. Si on attend assez longtemps, le verre est devenu uniformément coloré parce que toutes les molécules ajoutées « explorent » également toutes les possibilités, les régions à l’intérieur du verre, qui leur sont offertes.

Ces observations peuvent être généralisées. Lorsqu’un système est très grand, et lorsqu’il y a un sens à parler de l’équilibre du système, on peut prédire avec certitude la destinée de l’ensemble alors même que les destinées des nombreux individus sont indéterminées.

Petitesse des atomes

On sait aujourd’hui que les atomes, très petits, existent. Dans chaque échantillon de matière, il y a un très grand nombre d’atomes, par exemple des milliards de milliards dans un minuscule grain de sable. La physique des corps macroscopiques est donc toujours une physique des grands systèmes.

Équilibres thermiques

L’étude des équilibres thermiques a une immense portée. Toutes les formes de la matière (gaz, liquides, solides, semi-fluides,...) et tous les phénomènes physiques (mécaniques, électriques et magnétiques, optiques,...) peuvent être étudiés en raisonnant sur l’équilibre des grands systèmes. La thermodynamique, que l’on identifie alors plutôt à la physique statistique, est une des bases les plus solides sur laquelle est édifiée notre compréhension de la matière.

Principes

Principes de la thermodynamique
Principe zéro · Premier principe · Deuxième principe · Troisième principe

Les deux principes les plus importants sont le premier et le second. On leur en ajoute parfois deux autres (principes zéro et troisième).

• Le principe zéro de la thermodynamique concerne la notion d'équilibre thermique et est à la base de la thermométrie. Si deux systèmes sont en équilibre thermique avec un troisième, alors ils sont aussi ensemble en équilibre thermique.

• Le premier principe de la thermodynamique affirme que l'énergie est toujours conservée. Autrement dit, l’énergie totale d’un système isolé reste constante. Les événements qui s’y produisent ne se traduisent que par des transformations de certaines formes d’énergie en d’autres formes d’énergie. L’énergie ne peut donc pas être produite ex nihilo ; elle est en quantité invariable dans la nature. Elle ne peut que se transmettre d’un système à un autre. On ne crée pas l’énergie, on la transforme.
  Ce principe est aussi une loi générale pour toutes les théories physiques (mécanique, électromagnétisme, physique nucléaire,...) On ne lui a jamais trouvé la moindre exception, bien qu'il y ait parfois eu des doutes, notamment à propos des désintégrations radioactives. On sait depuis le théorème de Noether que la conservation de l'énergie est étroitement reliée à une uniformité de structure de l'espace-temps.
  Elle rejoint un principe promu par Lavoisier : « Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme ».

• Le deuxième principe de la thermodynamique concerne la notion d'irréversibilité d'une transformation et introduit la notion d'entropie. Il affirme que l'entropie d'un système isolé augmente, ou reste constante. Il est associé à l'impossibilité du passage du désordre à l'ordre sans intervention extérieure. Cette interprétation pose des difficultés.
  Ce principe a une origine statistique : à la différence du premier principe, les lois microscopiques qui gouvernent la matière ne le contiennent qu'implicitement et de manière statistique. En revanche, il est assez indépendant des caractéristiques mêmes de ces lois, car il apparaît également si l'on suppose des lois simplistes à petite échelle.

• Le troisième principe de la thermodynamique est plus controversé. Il est associé à la descente vers son état quantique fondamental d'un système dont la température s'approche d'une limite qui définit la notion de zéro absolu. Il n'est pas nécessaire en thermodynamique classique.

Grandeurs extensives et intensives

Parmi les grandeurs physiques qui déterminent l'état thermodynamique d'un système, on distingue les grandeurs extensives et intensives.

Un système peut toujours être divisé - par la pensée - en parties qui occupent des régions disjointes de l'espace.

Une grandeur est extensive lorsque sa valeur pour le système entier est la somme de ses valeurs pour chacune de ses parties. Exemples :

• le volume
• la masse
• le nombre de particules d'une espèce déterminée
• l'énergie et l'entropie - dans de nombreux cas
• la charge électrique (il faut alors entendre somme au sens de somme algébrique)

Une grandeur est intensive lorsque dans un système homogène sa valeur est la même pour le système entier et pour chacune de ses parties. Exemples :

• la pression
• la température
• la masse volumique, l'énergie par unité de volume, ou de masse dans de nombreux cas, et tout quotient de deux grandeurs extensives

Une grandeur peut n'être ni extensive ni intensive, le carré du volume par exemple. On définit ce genre de grandeur pour trouver des relations entre celle-ci qui auront des propriétés différentes selon qu'une grandeur soit extensive ou intensive d'où l'intérêt de les distinguer.

Les variables d'état sont des grandeurs (indépendantes) qui servent à définir le système et dont il suffit de fixer la valeur pour reconstituer un système exactement identique. Les grandeurs intensives sont indépendants de la quantité de matière : pression, température, viscosité, etc. Les grandeurs extensives sont proportionnelles à la quantité de matière : volume, énergie interne, enthalpie, etc.

Voir aussi

Articles connexes

• Diagramme de phase
• Théorie cinétique des gaz
• isobare et monobare
• Adiabatique
• Thermochimie
• Histoire de la thermodynamique et de la physique statistique

Liens externes

• Cours entier de thermodynamique

Bibliothèque virtuelle

• Roger Balian ; Physique fondamentale et énergétique : les multiples visages de l'énergie : cours donné par l'auteur (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) à la première École d'Eté « e2phy » : L'énergie sous toutes ses formes : données scientifiques, contraintes, enjeux, 27-30 août 2001, Site universitaire de Caen.

• Roger Balian ; Entropie, information : un concept protéiforme : texte d'une conférence donnée par l'auteur (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) à l'Université de tous les savoirs (239me conférence : Les États de la matière, 26 août 2000, Conservatoire National des Arts et Métiers, Paris, vidéo de la conférence). Publiée par Yves Michaud (éditeur) ; Université de tous les savoirs (Vol. 4), Odile Jacob (2001) pp. 947-959 / Repris en édition de poche : Université de tous les savoirs (Vol. 17), Poches Odile Jacob (2002) pp. 205-220

• Roger Balian ; Le temps macroscopique : texte d'une remarquable conférence sur l'irréversibilité et l'entropie donnée par l'auteur (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) lors du premier colloques "Physique & Interrogations Fondamentales" : Le Temps et sa Flèche organisé par la Société Française de Physique le 8 décembre 1993 à Paris. Publié par : Étienne Klein & Michel Spiro (éditeurs) ; Le Temps et sa Flèche, Les Editions Frontières (1994) pp. 155-211. Repris en poche par Flammarion, Collection Champs (1995).

• Roger Balian ; Entropy, a Protean Concept : texte (en anglais) d'une conférence introductive donnée par l'auteur (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) au séminaire Poincaré du 6 décembre 2003 consacré à l'entropie. Publié dans : J. Dalibard, B. Duplantier et V. Rivasseau (eds.) ; Poincaré seminar 2003, Progress in Mathematical Physics 38, Birkhäuser (2004) 119-144.

• (histoire des sciences) le texte fondateur de Sadi Carnot (1824), extrait en ligne et commenté sur le site BibNum.

Bibliographie

Vulgarisation

• Bernard Diu, Les atomes existent-ils vraiment ?, Odile Jacob (), ISBN .

• P. Depondt, L’entropie et tout ça - Le roman de la thermodynamique, ISBN .

• Peter W. Atkins ; Chaleur & Désordre - Le deuxième Principe de la thermodynamique, Collection "L'univers des sciences", Belin/Pour La Science (1987) 216 pp.Par le célèbre professeur de Chimie-Physique de l'Université d'Oxford, un remarquable ouvrage de vulgarisation de la thermodynamique des points de vue macroscopique et microscopique. Niveau premier cycle universitaire.

Ouvrages de référence

• Georges Gonczi ; Comprendre la Thermodynamique, Ellipses (2005) 260 pp. ISBN 2-7298-2363-8. Cours au niveau bac+1 ou bac+2 avec exercices résolus et commentés.

• Georges Bruhat ; Cours de Physique Générale - Thermodynamique, Masson (6^e édition-1968) 912 pp. Georges Bruhat, mort en déportation durant la Seconde Guerre mondiale, était Directeur du Laboratoire de Physique de l'École normale supérieure de la rue d'Ulm. Ce cours de référence, devenu un "classique", est accessible à partir du premier cycle universitaire. Cette 6^e édition a été revue et augmentée par Alfred Kastler, prix Nobel de physique 1966 pour ses travaux en physique atomique, notamment sur le pompage optique, utile au développement des lasers. Indispensable dans toute bibliothèque de physique digne de ce nom, cet ouvrage, qui n'est malheureusement plus édité, se trouve d'occasion.

• Yves Rocard ; Thermodynamique, Masson (2^e édition-1967) 540 pp. Père de l'ancien premier ministre Michel Rocard, l'auteur prit, après la Seconde Guerre mondiale, la suite de Georges Bruhat comme directeur du Laboratoire de Physique de l'École normale supérieure de la rue d'Ulm. Cet autre cours de référence, devenu également un "classique", est accessible à partir du premier cycle universitaire. Indispensable dans toute bibliothèque de physique digne de ce nom, cet ouvrage, qui n'est malheureusement plus édité, se trouve d'occasion.

• Prigogine et Stengers, La Nouvelle Alliance. Histoire de la naissance de la thermodynamique et du concept d'entropie et d'irréversibilité en physique.

Initiation à la physique statistique

• Frederic Reif ; Physique Statistique, Cours de Physique de Berkeley (vol. 5), Armand Colin (1972) 398 pp. réédité par Dunod. Ce volume 5 du célèbre "Cours de Physique de Berkeley" des années 60 est un "Must" absolu. Sans doute la meilleure introduction à la physique statistique accessible à un étudiant du premier cycle universitaire. Indispensable dans toute bibliothèque de physique digne de ce nom.

• Bernard Jancovici ; Thermodynamique & Physique Statistique, Ediscience (1969) 186 pp. Réédité (sans les exercices) par Nathan Université dans sa collection "128 sciences" (1996) 128 pp. L'auteur, professeur de Physique Théorique de l'Université de Paris Sud-Orsay, a longtemps enseigné la Physique Statistique à l'E.N.S. Ulm (M.I.P. & D.E.A. de Physique Théorique). Ce petit ouvrage est un cours d'introduction à la thermodynamique via la physique statistique élémentaire. Niveau premier cycle universitaire.

• Percy W. Bridgman ; The Nature of Thermodynamics, Harvard University Press (1941) 230 pp. Réflexions sur le sens des 2 principes de la thermodynamique. L'auteur, Bridgman, a reçu le prix Nobel de physique 1946 pour ses travaux sur les fortes pressions. Ce livre contient quelques équations, accessible au niveau du premier cycle universitaire.

• Mark W. Zemansky & Richard H. Dittman ; Heat & Thermodynamics, McGraw-Hill (6^e édition-1981) 544 pp. ISBN 0-07-066647-4. La première moitié de ce volume est un cours de thermodynamique purement macroscopique selon une approche expérimentale : le point de départ est le concept de température usuelle. Ce livre constitue une mine d'applications. Cette première partie de l'ouvrage est accessible au niveau du premier cycle universitaire. (La seconde moitié du livre est consacrée à l'approche de la thermodynamique via la physique statistique. Cette partie est plutôt du niveau du second cycle universitaire.)

• Herbert G. Callen ; Thermodynamics & an introduction to Thermostatistics, John Wiley & Sons (2^e édition-1985) 494 pp. ISBN 0-471-86256-8. Ce livre est le compagnon idéal de l'ouvrage précédent. En effet, la première partie (2/3) de ce volume est un cours de thermodynamique purement macroscopique selon une approche axiomatique : les postulats sont énoncés dès le premier chapitre, le concept de température en est déduit au chapitre suivant. Cette première partie de l'ouvrage est accessible au niveau du premier cycle universitaire, quoique certains développements formels soient d'un niveau plus élevé. (La seconde partie (1/3) du livre est consacrée à l'approche de la thermodynamique via la physique statistique. Cette partie est plutôt du niveau du second cycle universitaire.)

• Ryogo Kubo ; Thermodynamics, John Wiley & Sons (1960) pp. Ouvrage classique de thermodynamique. Niveau second cycle universitaire.

• A.B. Pippard ; Elements of Classical Thermodynamics - For Advanced Students of Physics, Cambridge University Press (1957) 173 pp. Réédition : avril 2004) ISBN 0-521-09101-2. Niveau second cycle universitaire.

Niveau second cycle universitaire

• B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, Physique statistique, Hermann (), ISBN .

• Roger Balian ; Du Microscopique au Macroscopique - Cours de Physique Statistique de l'École Polytechnique (2 tomes), Ellipses (1982) 640 pp. ISBN 2-7298-9000-9 et ISBN 2-7298-9001-7. Un beau cours de physique statistique, qui s'appuie sur la connaissance préalable de la Mécanique Quantique. Roger Balian, chercheur au Service de Physique Théorique du CEA (Saclay), est membre de l'Académie des Sciences. Niveau second cycle universitaire.

• Frederic Reif ; Fundamentals of Statistical & Thermal Physics, McGraw-Hill (1965) 651 pp. ISBN 0-07-051800-9. Ouvrage classique de physique statistique. Niveau second cycle universitaire.

• Linda E. Reichl ; A Modern Course in Statistical Physics, John Wiley & Sons (2^e édition-1998) 848 pp. ISBN 0-471-59520-9. Un ouvrage moderne déjà classique. Linda Reichl est professeur de physique statistique à l'Université d'Austin, Texas (U.S.A.). Niveau second cycle universitaire.

• Kerson Huang ; Statistical Mechanics, John Wiley & Sons (2^e édition-1987) 512 pp. ISBN 0-471-81518-7. Ouvrage classique de physique statistique. Niveau second cycle universitaire.

• Ryogo Kubo ; Statistical Mechanics, John Wiley & Sons (1965) réédité par North-Holland 426 pp. ISBN 0-444-87103-9. Ouvrage classique de physique statistique. Niveau second cycle universitaire.

• A.I. Khinchin ; Mathematical Foundations of Statistical Mechanics, Dover (1949) 180 pp. ISBN 0-486-60147-1. Ouvrage classique sur les fondements de la physique statistique, notamment l'hypothèse ergodique. Niveau second cycle universitaire.

Aspects historiques

• Robert Locqueneux ; Préhistoire & Histoire de la thermodynamique Classique (Une histoire de la chaleur), Cahiers d'Histoire & de Philosophie des Sciences n°45, société Française d'Histoire des Sciences & des Techniques (Décembre 1996) 333 pp. ISSN : 0221-3664. Essai sur les théories de la chaleur aux XVIIIe et XIXe siècles. Niveau premier cycle universitaire.

• Jean-Pierre Maury ; Carnot & la machine à vapeur, Collection Philosophies, Presses Universitaires de France (1986) 128 pp. ISBN 2-13-039880-4. Histoire du développement des machines à vapeur depuis leur naissance au XVIIe siècle jusqu'aux travaux théoriques de Carnot ("Réflexions sur la puissance motrice du feu" - 1824) qui posent les fondements de la thermodynamique. Niveau premier cycle universitaire.

• Anouk Barberousse ; La Mécanique Statistique - De Clausius à Gibbs, Collection Histoire des Sciences, Belin (2002) 240 pp. ISBN 2-7011-3073-5.Cette collection originale propose une histoire du développement de la théorie cinétique des gaz basée sur des extraits des grands textes fondateurs (traduits en français) mis en perspective contemporaine par une historienne des sciences (C.N.R.S.). Accessible dès le niveau premier cycle universitaire.

• Stephen G. Brush ; The Kind of Motion we call Heat - A History of the Kinetic Theories of Gases in the 19th Century (2 vols.), North-Holland (1976). Tome 1 : Physics and the Atomists, ISBN 0-444-87008-3, 300 pages. Tome 2 : Statistical Physics and Irreversible Processes, ISBN 0-444-87009-1, 470 pages. Histoire érudite du développement de la théorie cinétique des gaz, par un professeur de Mécanique des Fluides de l'Université du Maryland (U.S.A.). Après une courte introduction générale (partie A), le premier volume adopte ensuite une approche classée par auteur (partie B). Le second volume (partie C) discute plus spécifiquement certains problèmes, et se termine par une bibliographie (partie D) qui renvoie à la littérature originale. Accessible dès le niveau premier cycle universitaire.

• Peter M. Harman ; Energy, Force & Matter - The Conceptual Developpments of 19th Century Physics, Cambridge University Press (1982) pp. ISBN . Histoire du développement de la physique au XIXe siècle par un professeur d'Histoire des Sciences de l'Université de Lancaster (U.K.). Accessible dès le niveau premier cycle universitaire.

• Peter M. Harman ; The Natural Philosophy of James-Clerk Maxwell, Cambridge University Press (1998) 232 pp. ISBN 0-521-00585-X. La philosophie naturelle du génial professeur Maxwell, fondateur de la théorie de l'électrodynamique et auteur d'importantes contributions en théorie cinétique des gaz, par un professeur d'Histoire des Sciences de l'Université de Lancaster (U.K.) responsable de l'édition des œuvres scientifiques du Maître. Accessible dès le niveau premier cycle universitaire.

• Carlo Cercignani ; Ludwig Boltzmann - The man who Trusted Atoms, Oxford University Press (1998) 330 pp. ISBN 0-19-850154-4. Biographie scientifique du grand professeur Boltzmann, qui a porté la théorie cinétique des gaz à son acmée. Par un professeur de Physique Mathématique de l'Université de Milan (Italie), spécialiste de l'"équation de Boltzmann". Niveau plutôt second cycle universitaire.

• Paul & Tatiana Ehrenfest ; The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, Dover, Inc. (1990) 114 pp. ISBN 0-486-66250-0. Réédition d'un article classique paru initialement en 1912 (en allemand). Niveau second cycle universitaire.Il existe une version française de ce texte,paru en 1915,dans le tome IV (Mécanique) de l'Encyclopédie des Sciences Mathématiques pures et appliquées ;l'intitulé exacte est le suivant.Exposé,d'après l'article allemand de P.Ehrenfest et T.Erhenfest(Leyde) par E.Borel(Paris).Réedition Jacques Gabay ISBN2-87647-114-0 (1991)

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