Graphe icosaédrique

Graphe icosaédrique
Représentation du graphe icosaédrique.
Nombre de sommets	12
Nombre d'arêtes	30
Distribution des degrés	5-régulier
Rayon	3
Diamètre	3
Maille	3
Automorphismes	120
Nombre chromatique	4
Indice chromatique	5
Propriétés	Arête-transitif Distance-régulier Hamiltonien Planaire Régulier Sommet-transitif
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Le graphe icosaédrique est, en théorie des graphes, un graphe 5-régulier possédant 12 sommets et 30 arêtes.

Propriétés

Propriétés générales

Il existe cinq graphes correspondant aux squelettes des cinq solides de Platon. Le graphe icosaédrique est l'un d'eux. Les quatre autres sont le graphe tétraédrique, le graphe hexaédrique, le graphe octaédrique et le graphe dodécaédrique.

Le diamètre du graphe icosaédrique, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 5-sommet-connexe et d'un graphe 5-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 5 sommets ou de 5 arêtes.

Coloriage

Le nombre chromatique du graphe icosaédrique est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe icosaédrique est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 4 et est de degrés 12. Il est égal à : (x − 3)(x − 2)(x − 1)x(x⁸ − 24x⁷ + 260x⁶ − 1670x⁵ + 6999x⁴ − 19698x³ + 36408x² − 40240x + 20170).

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe icosaédrique est un groupe d'ordre 120.

Le polynôme caractéristique du graphe icosaédrique est : (x − 5)(x + 1)⁵(x² − 5)³.

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, Icosahedral Graph (MathWorld)

Références

• Portail des mathématiques