Graphe de Hajós

Graphe de Hajós
Représentation du graphe de Hajós.
Nombre de sommets	6
Nombre d'arêtes	9
Distribution des degrés	2 (3 sommets) 4 (3 sommets)
Rayon	2
Diamètre	2
Maille	3
Automorphismes	6
Nombre chromatique	3
Indice chromatique	4
Propriétés	Eulérien Hamiltonien Parfait Planaire
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Le graphe de Hajós est, en théorie des graphes, un graphe possédant 6 sommets et 9 arêtes.

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe de Hajós, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 2-sommet-connexe et d'un graphe 2-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 2 sommets ou de 2 arêtes.

Coloration

Le nombre chromatique du graphe de Hajós est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe de Hajós est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes du graphe de Hajós. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. C'est une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifiée de polynôme chromatique. Ce polynôme de degré 6 admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3. Il est égal à : (x − 2)⁴(x − 1)x.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe de Hajós est un groupe d'ordre 6 isomorphe au groupe symétrique S₃.

Le polynôme caractéristique du graphe de Hajós est : (x² − 2x − 4)(x² + x − 1)².

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, Hajós Graph (MathWorld)

Références

• Portail des mathématiques