Graphe de Grötzsch

Graphe de Grötzsch
Représentation du graphe de Grötzsch.
Nombre de sommets	11
Nombre d'arêtes	20
Distribution des degrés	3 (5 sommets) 4 (5 sommets) 5 (1 sommet)
Rayon	2
Diamètre	2
Maille	4
Automorphismes	10 (D5)
Nombre chromatique	4
Indice chromatique	5
Propriétés	Hamiltonien
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Le graphe de Grötzsch est, en théorie des graphes, un graphe possédant 11 sommets et 20 arêtes.

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe de Grötzsch, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloriage

Le nombre chromatique du graphe de Grötzsch est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe de Grötzsch est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes du graphe de Grötzsch. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. C'est une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifiée de polynôme chromatique. Ce polynôme de degré 11 admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 4. Il est égal à : (x − 3)(x − 2)(x − 1)x(x⁷ − 14x⁶ + 95x⁵ − 400x⁴ + 1115x³ − 2033x² + 2217x − 1100).

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe de Grötzsch est un groupe d'ordre 10 isomorphe au groupe diédral D₅, le groupe des isométries du plan conservant un pentagone régulier. Ce groupe est constitué de 5 éléments correspondant aux rotations et de 5 autres correspondant aux réflexions.

Le polynôme caractéristique du graphe de Grötzsch est : − (x − 1)⁵(x² − x − 10)(x² + 3x + 1)².

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, Grötzsch Graph (MathWorld)

Références

• Portail des mathématiques