Espace pseudo-euclidien

Espace pseudo-euclidien

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, un espace pseudo-euclidien est une extension du concept d'espace euclidien dont la métrique n'est pas définie positive. L'espace de Minkowski est un exemple d'espace pseudo-euclidien.

Sommaire

La notion de métrique

Dans les espaces euclidiens (et pseudo euclidiens), les notion de métrique et d'orthogonalité sont construite par l'adjonction d'un produit scalaire à un espace vectoriel simple. Le carré de la norme d'un vecteur est égal au produit scalaire de ce vecteur par lui même, ce qui permet de définir la notion de distance entre deux point. De plus, le produit scalaire usuel se formule dans la base canonique comme la somme des carrés des coordonnées du vecteur, et de cette façon, il est défini positif et la base canonique est automatiquement orthonormale.

En pratique, cependant, cette manière de calculer le produit scalaire n'est pas suffisante, car elle ne permet pas de changer de base. On doit dès lors considérer le produit scalaire usuel comme une forme bilinéaire représentée dans la base canonique par la matrice unité.

  • \vec x \cdot \vec y = {}^tX \cdot Y = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = x_1 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_2 + \cdots + x_n \cdot y_n

devient

  • \vec x \cdot \vec y = {}^tX \cdot I \cdot Y = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}

Changement de base

Dans ce cadre, tout changement de base P_E^{E'} représenté par la matrice de transformation P_E^{E'}, tel que

E' = E \cdot P_E^{E'} (et \left(P_E^{E'}\right)^{-1}=P_E'^E.),

transformera la représentation de \vec x en

X' = P_{E'}^E \cdot X (et X = P_E^{E'} \cdot X')

car

\vec x = E \cdot X = E \cdot P_E^{E'} \cdot P_{E'}^E \cdot X = E' \cdot P_{E'}^E \cdot X

Par conséquent, \vec x \cdot \vec y = {}^tX \cdot I \cdot Y deviendra

\vec x \cdot \vec y = ^t{P_E^{E'} \cdot X'} \cdot I \cdot P_E^{E'} \cdot Y' = ^tX' \cdot ^tP_E^{E'} \cdot I \cdot P_E^{E'} \cdot Y' ,

d'où il découle que la transformation bilinéaire représentant le produit scalaire, s'exprime

^tP_E^{E'} \cdot P_E^{E'} dans la nouvelle base E'

Le changement de base se traduit donc par une modification de la matrice de la forme bilinéaire de sorte que le produit scalaire est préservé quelle que soit la base utilisée. concrètement,

  • comme le produit scalaire usuel est isotrope, tout changement vers une autre base orthonormée préserve la matrice unité, (Dans ce cas, le déterminant de la matrice de passage vaut 1, donc ^tP_E^{E'} = \left(P_E^{E'}\right)^{-1} ^tP_E^{E'} \cdot P_E^{E'} = I
  • si la base n'est plus normée, la matrice reste diagonale, mais plus unitaire (pour le démontrer, il suffit de passer par une base intermédiaire dans laquelle les vecteurs de base sont alignés, avec ceux de la nouvelle base, mais sont normés).
  • si la base n'est plus orthogonale, la matrice de la transformation devient une simple matrice symétrique (En effet, le produit d'une matrice par sa transposée est forcément symétrique).

Dans tous ces cas, la valeur du produit scalaire d'un vecteur avec lui même est préservée et la forme bilinéaire reste donc toujours définie positive.

La spécificité des espaces pseudo euclidiens, c'est justement que les axes de la base canonique sont répartis en deux groupes, ceux dans lesquelles les distances sont positives, et ceux dans lesquelles les distance sont négatives. C'est en particulier ce qui permet à Minkowski, de proposer un système de coordonnées dans lequel, l'axe temporel est par essence différent des axes spatiaux.

Avec des tenseurs

Quand la base n’est plus orthonormée, il est intéressant d'utiliser la notation tensorielle pour pouvoir facilement différencier les coordonnées contravariantes des coordonnées covariantes. Dans ce cas, l'orthogonalité et la norme sont définie par une forme bilinéaire gab appelée tenseur métrique, et le produit scalaire, tel qu'utilisé dans les exemple précédents, utilise son inverse : {g^{ab}}^{-1} noté gab et appelé tenseur métrique inverse.

Signature

On peut alors définir la notion de signature d'un espace pseudo-euclidien, comme étant le nombre de dimensions dans lesquels la norme des vecteurs de base et positive, et le nombre de dimensions dans lesquelles la norme de vecteurs de base est négative. Cette signature est préservée quels que soient les changements de systèmes de coordonnées.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace pseudo-euclidien de Wikipédia en français (auteurs)

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