- Déterminant par blocs
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La formule de déterminant par bloc généralise à la fois les formules de Laplace de calcul du déterminant d'une matrice carrée par développement selon une ligne ou une colonne ou le calcul du déterminant d'une matrice diagonale ou trigonale par blocs.
Formule
Si A est une matrice carrée de taille n, on forme un procédé d'extraction de
colonnes, noté φ, c'est-à-dire une application strictement croissante de ![[[1,k]]_\N](5/ac57b5c5bcc4b75e719f7f94841c5372.png)
dans ![[[1,n]]_\N](a/62ad09674da338c246ca3b17b8b5092e.png)
, et un procédé d'extraction de lignes, noté φ'.On note
le déterminant de la matrice extraite de A en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indicesφ([[1,k]]) et les lignes d'indices φ'([[1,k]]).
On note
le déterminant de la matrice extraite de A en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices qui ne sont pas dansφ([[1,k]]) et les lignes d'indices qui ne sont pas dans φ'([[1,k]]).
On note Φ l'ensemble des applications strictement croissantes de
dans et on fixe φOn note ε(φ) la signature de l'application injective strictement croissante φ définie comme la signature de l'unique prolongement de φ dont la restriction à [[k + 1,n]] est également croissant.
On obtient alors
Cas particulier
Si n = 4 et k = 2, cette formule donne un déterminant 4x4 comme la somme de 6 produits de déterminants 2x2. En notant, comme pour les coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes pi,j le déterminant des lignes i,j des deux premières colonnes, et
qi,j le déterminant des lignes i,j des deux dernières colonnes, on obtient par exemple :
detA = p1,2q3,4 + p1,3q4,2 + p1,4q2,3 + q1,2p3,4 + q1,3p4,2 + q1,4p2,3
Source
- Frédéric Rotella, Pierre Borne Théorie et pratique du calcul matriciel
- Article de Gérard Eguether université de Nancy
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