- Coordonnées grassmanniennes
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Les coordonnées grassmanniennes sont une généralisation des coordonnées plückeriennes, qui permettent de paramétrer les sous espaces de dimension k de l'espace vectoriel
par un élément de l'espace projectif de l'espace vectoriel des produits extérieurs des familles de k vecteurs de
Le plongement plückerien
Le plongement plückerien est un plongement naturel de la variété grassmannienne G(k,n) dans l'espace projectif
:
Ce plongement est défini comme suit. Si W est un sous-espace de dimension k de
, on définit d'abord une base
de W, puis on forme le produit extérieur
Ce produit extérieur dépend de la base, mais comme deux familles de k vecteurs engendrent le même sous-espace vectoriel si et seulement si leurs produits extérieurs sont colinénaires, un passage au quotient fait de ψ un plongement de G(k,n) dans l'espace projectif de l'espace des produits extérieurs (de dimension
).
Ce plongement est naturellement injectif car on obtient W comme le sous-espace de dimension k des vecteurs w satisfaisant à
. Lorsque k = 2,n = 4 on retrouve les coordonnées plückeriennes.
D'autre part les images de la grassmannienne satisfont une relation polynomiale quadratique assez simple, appelée la relation de Plücker ; de sorte que la grassmannienne se réalise par ce biais comme une sous-variété de
. Les relations de Plücker s'obtiennent en prenant deux sous-espaces vectoriels k-dimensionnels W et V de
respectivement munis des bases
et
. Alors, dans le système de coordonnées homogènes de
, on a pour tout
:
Dans le cas de la dimension n = 4 et des coordonnées de Plücker (k = 2), on obtient une seule équation, qui s'écrit :
X01X23 − X02X13 + X12X03 = 0. Sources
- bibliographie
- Laurent Lafforgue : Chirurgie des grassmanniennes
- Les coordonnées de Plücker revisitées par : Lilian Aveneau de l'Université de Poitiers
Liens internes
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