Coordonnées grassmanniennes

Coordonnées grassmanniennes

Les coordonnées grassmanniennes sont une généralisation des coordonnées plückeriennes, qui permettent de paramétrer les sous espaces de dimension k de l'espace vectoriel \R^n par un élément de l'espace projectif de l'espace vectoriel des produits extérieurs des familles de k vecteurs de \R^n

Le plongement plückerien

Le plongement plückerien est un plongement naturel de la variété grassmannienne G(k,n) dans l'espace projectif P(\Lambda^k(\R^n)):

\psi : \mbox{G(k,n)} \rightarrow \mathbf{P}(\bigwedge^k (\R^n)).

Ce plongement est défini comme suit. Si W est un sous-espace de dimension k de \R^n, on définit d'abord une base (e_1, \ldots, e_k) de W, puis on forme le produit extérieur \phi(W)=e_1 \wedge \cdots \wedge e_k. Ce produit extérieur dépend de la base, mais comme deux familles de k vecteurs engendrent le même sous-espace vectoriel si et seulement si leurs produits extérieurs sont colinénaires, un passage au quotient fait de ψ un plongement de G(k,n) dans l'espace projectif de l'espace des produits extérieurs (de dimension C_n^k-1,).

Ce plongement est naturellement injectif car on obtient W comme le sous-espace de dimension k des vecteurs w satisfaisant à w \wedge \phi(W) \ =0. Lorsque k = 2,n = 4 on retrouve les coordonnées plückeriennes.

D'autre part les images de la grassmannienne satisfont une relation polynomiale quadratique assez simple, appelée la relation de Plücker ; de sorte que la grassmannienne se réalise par ce biais comme une sous-variété de \mathbf{P}(\wedge^k (\R^n)). Les relations de Plücker s'obtiennent en prenant deux sous-espaces vectoriels k-dimensionnels W et V de \R^n respectivement munis des bases (w_1,\cdots,w_k) et (v_1,\cdots,v_k). Alors, dans le système de coordonnées homogènes de \mathbf{P}(\wedge^k (\R^n)), on a pour tout r\in \{1,\cdots,k\} :

\psi(W)\bigwedge\psi(V) - \sum_{i_1 < \cdots < i_r} (v_1 \wedge \cdots \wedge v_{i_1 - 1} \wedge w_1 \wedge v_{i_1 + 1} \wedge \cdots \wedge v_{i_r - 1} \wedge w_r \wedge v_{i_r + 1} \wedge \cdots \wedge v_k)\cdot(v_{i_1} \wedge \cdots \wedge v_{i_r} \wedge w_{r+1} \cdots \wedge w_k) = 0.

Dans le cas de la dimension n = 4 et des coordonnées de Plücker (k = 2), on obtient une seule équation, qui s'écrit :

X01X23 − X02X13 + X12X03 = 0.

Sources

bibliographie
  • Des planches de Jussieur sur le plongement de Plucker : ici ou là

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