- Espace symétrique
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En mathématiques, et plus spécifiquement en géométrie différentielle, un espace riemannien symétrique est une variété riemannienne qui, en chaque point, admet une isométrie involutive dont ce point est un point fixe isolé. Plus généralement, un espace symétrique est une variété différentielle muni, en chaque point, d'une symétrique involutive, le tout vérifiant certaines conditions. Lorsqu'il n'y pas de risque de confusion, les espaces riemanniens symétriques sont appelés espaces symétriques. Espaces symétriques connexes sont des espaces homogènes de groupes de Lie.
Les espaces des géométries euclidiennes et non euclidiennes sont naturellement des espaces riemanniens symétriques. La plupart des espaces homogènes usuels de la géométrie différentielles sont soit des espaces symétriques (riemanniens ou non) soit ce que l'on appelle variétés de drapeaux généralisés (généralisation des espaces projectifs, des grassmanniennes, des quadriques projectives).
Dans ce cas riemannien, ces espaces ont été définis et classifiés pour la première fois par Élie Cartan. Ils constituent un cadre naturel pour généraliser l'analyse harmonique classique sur les sphères.
Sommaire
Espaces riemanniens symétriques
En géométrie riemannienne, une variété riemannienne (M, g) est dite localement symétrique si, localement, autour de chaque point x, il existe une symétrie σx qui inverse les géodésiques issues de x et qui est une isométrie (locale).
Un espace riemannien symétrique est une variété riemannienne localement symétrique dont les symétries peuvent se prolonger à tout l'espace. De manière équivalente, une variété riemannienne (M,g) est dite symétrique lorsque, pour tout point x de M, il existe une isométrie σx:M
M vérifiant :- σx(x) = x ;
- dσx(x) = − Id.
Cette isométrie σx est appelée la symétrique en x.
Propriétés remarquables
- Tout espace riemannienne symétrique est une variété riemannienne géodésiquement complète (en), donc complète en vertu du théorème de Hopf-Rinow.
- Il existe une et une unique symétrie en x.
- Le tenseur de courbure d'une variété riemannienne est parallèle.
Exemples d'espaces symétriques
- Les espaces euclidiens sont des espaces riemanniens symétriques.
- Les sphères, les espaces elliptiques (réels, complexes et quaternioniens) sont des espaces symétriques, de rang 1.
- Les variétés riemanniennes de courbure sectionnelle constante sont des espaces localement symétriques.
- Les espaces hyperboliques (réels, complexes et quaternioniens) sont des espaces symétriques de rang 1.
- Les espaces d'Heisenberg sont des espaces symétriques.
Classification des espaces riemanniens symétriques
Espaces riemanniens symétriques irréductives simplement connexes de type compact
Voici les espaces riemanniens symétriques irréductibles simplement connexes de type compact dont le groupe est classique
- SU(n)/SO(n)
- SU(2n)/Sp(n)
- SU(p, q)/S(U(p) × U(q))
- SO(p, q)/(SO(p) × SO(q))
- Sp(p, q)/(Sp(p) × Sp(q))
- Sp(n)/U(n)
- SO(2n)/U(n)
- SU(n)
- Sp(n)
- Spin(n)
Espaces riemanniens symétriques irréductives simplement connexes de type non compact
Voici les espaces riemanniens symétriques irréductibles simplement connexes de type compact dont le groupe est classique
- SL(n, R)/SO(n)
- SL(n, H)/Sp(n)
- SU(p, q)/S(U(p) × U(q))
- SO(p, q)/(SO(p) × SO(q))
- Sp(p, q)/(Sp(p) × Sp(q))
- Sp(2n, R)/U(n)
- O(n, H)/U(n)
- SL(n, C)/SU(n)
- Sp(2n, C)/Sp(n)
- SO(n, C)/SO(n)
Isomorphismes en basses dimensions
Espaces hermitiens symétriques
Espaces hermitiens symétriques
Propriétés des espaces hermitiens symétriques
Classification des espaces hermitiens symétriques
Domaines bornés symétriques
R-espaces symétriques
Classification
Voici la classification des R-espaces symétriques de groupes de Lie classiques. Ils admettent tous une interprétation géométrique simple. Par grassmannienne lagrangienne, il faut ici entendre la variété des sous-espaces vectoriels de dimension n qui sont totalement isotropes, c'est-à-dire sur lesquels les formes s'annulent identiquement.
- Grassmanniennes réelles, complexes et quaternioniennes d'indices p:
- U(p, q)/S(U(p) × U(q));
- SO(p, q)/S(O(p) × O(q));
- Sp(p, q)/(Sp(p) × Sp(q)).
- Grassmanniennes lagrangiennes de formes quadratiques réelles, hermitiennes complexes et quaternioniennes de signature (n, n):
- (SO(n) × SO(n))/SO(n);
- U(n) × U(n))/U(n);
- Sp(n) × Sp(n))/Sp(n).
- Grassmanniennes lagrangiennes de formes bilinéaires alternées réelles et complexes en dimension 2n:
- U(n)/O(n);
- Sp(n)/U(n).
- Grassmanniennes lagrangiennes des formes quadratiques complexes et des formes antihermitiennes quaternioniennes en dimension 2n:
- SO(2n)/U(n);
- U(2n)/Sp(n).
- Quadriques projectives propres réelles et complexes:
- (O(p) × O(q))/(O(1) × O(p - 1) × O(q - 1)).
- SO(n)/(SO(2) × SO(n - 2)).
Ces interprétations ne sont pas intrinsèques: elles dépendent du système de coordonnées choisis. Par exemples, la grassmannienne d'indice p d'un espace vectoriel réel n'est pas intrinsèquement un espace symétrique, par le devient si l'espace vectoriel est muni d'un produit scalaire euclidien.
Analyse harmonique sur les espaces symétriques
Espaces symétriques généraux
Espaces symétriques au sens de Loos
Propriétés générales
Exemples d'espaces symétriques
Espaces symétriques semi-simples
Classification des espaces symétriques simples
Il y a (localement) 54 familles d'espaces symétriques simples de groupes de Lie classiques simples. Il y a d'abord dix familles d'espaces symétriques simples complexes (de la forme G/H, où G et H sont des groupes de Lie complexes), et les versions réelles de ces espaces symétriques complexes. Chacun des dix tableaux correspond à un famille d'espaces symétriques complexes, et la premier ligne est celle de l'espace symétrique complexe correspondant. Lorsqu'il y a deux colonnes dans un tableau, la première est celles d'espaces symétriques simples, et la second est celle d'espaces symétriques « réductifs » liés à ceux de la première colonne: ils ont une interprétation géométrique parfois plus simple. Notons que l'espace symétrique de la seconde colonne peut être canoniquement isomorphe à celui de la première colonne.
SL(n, C) GL(n, C) SL(n, R) GL(n, R) SL(n, H) GL(n, H) SU(p, q) U(p, q) SL(n, C)/SL(n, R) GL(n, C)/GL(n, R) SL(2n, C)/SL(n, H) GL(2n, C)/GL(n, H) SL(p + q, C)/SU(p, q) GL(p + q, C)/U(p, q) SL(n, C)/SO(n, C) GL(n, C)/O(n, C) SU(p, q)/SO(p, q) U(p, q)/O(p, q), SL(p + q, R)/SO(p,q) GL(p + q, R)/O(p,q) SL(n, H)/O(n, H) GL(n, 'H)/O(n, H) U(n, n)/O(n, H) - SL(2n, C)/Sp(2n, C) GL(2n, C)/Sp(2n, C) SL(2n, R)/Sp(2n, R) GL(2n, C)/Sp(2n, R) SL(p + q, H)/Sp(p, q) GL(p + q, H)/Sp(p, q) SU(n, n)/Sp(2n, R) U(n, n)/Sp(2n, R) SU(2p, 2q)/Sp(p, q) U(2p, 2q)/Sp(p, q) SL(p + q, C)/S(GL(p, C) × GL(q, C)) GL(p + q, C)/(GL(p, C) × GL(q, C)) SL(p + q, R)/S(GL(p, R) × GL(q, R)) GL(p + q, R)/(GL(p, R) × GL(q, R)) SL(p + q, H)/S(GL(p, H) × GL(q, H)) GL(p + q, H)/(GL(p, H) × GL(q, H)) SU(n, n)/GL±(n, C) U(n, n)/GL(n, C) SU(p + q, r + s)/S(U(p, r) × U(q, s)) U(p + q, r + s)/(U(p, r) × U(q, s)) SL(2n, R)/SL*(n, C) GL(2n, R)/GL(n, C) SL(n, H)/SL*(n, C) GL(n, H)/GL(n, C) SO(n, C) O(n, C) SO0(p, q) O(p, q) O(n, H) - SO(p + q, C)/SO(p, q) O(p + q, C)/O(p, q) SO(2n, C)/O(n, H) O(2n, C)/O(n, H) SO(p + q, C)/S(O(p, C) × O(q, C)) O(p + q, C)/(O(p, C) × O(q, C)) SO(p + q, r + s)/S(O(p, r) × O(q, s)) O(p + q, r + s)/(O(p, r) × O(q, s)) O(p + q, H)/(O(p, H) × O(q, H)) - SO0(n, n)/O(n, C) O(n, n)/O(n, C) O(n, H)/O(n, C) - SO(2n, C)/GL(n, C) O(2n, C)/GL(n, C) SO0(n, n)/GL+(n, R) O0(n, n)/GL(n, R) O(2n, H)/GL(n, H) - SO0(2p, 2q)/U(p, q) O(2p, 2q)/U(p, q) O(p + q, H)/U(p, q) - Sp(2n, C) Sp(2n, R) Sp(p, q) Sp(2n, C)/Sp(2n, R) Sp(2p + 2q, C))/Sp(p, q) Sp(2p + 2q, C)/(Sp(2p, C) × Sp(2q, C) Sp(2p + 2q, R)/(Sp(2p, R) × Sp(2q, R) Sp(p + q, r + s)/(Sp(p, r) × Sp(q, s)) Sp(4n)/Sp(2n, C) Sp(n, n)/Sp(2n, C) Sp(2n, C)/GL(n, C) Sp(2n, R)/GL(n, R) Sp(n, n)/GL(n, H) Sp(2p + 2q, R)/U(p, q) Sp(p + q)/U(p, q) Varitions
Ensembles symétriques
Propriétés
Exemples
Variétés symétriques
Définition
Classification
Historique
La théorie et la classification des espaces riemanniens symétriques sont l'œuvre d'Élie Cartan. La classification des espaces symétriques semi-simples non compacts est due à Marcel Berger.
Bibliographie
articles
- M. Berger, Sur les groupes d'holonomie des variétés riemanniennes non symétriques, 1953.
- M. Berger, Structure et classification des espaces homogènes symétriques à groupe d'isométrie semi-simple, 1955.
- M. Berger, Les espaces symétriques non compacts, 1957.
- M. Berger, Sur quelques variétés d'Einstein compactes, 1962.
livres
- (en) Besse, Einstein manifolds (ISBN 0-387-15279-2).
- (en) S. Helgason (de), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, 1978 (ISBN 0-8218-2848-7). Le livre de référence sur les espaces symétriques.
Voir aussi
Wikimedia Foundation. 2010.
