- Constante d'Hermite
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En mathématiques, la constante d'Hermite γn, nommée d'après le mathématicien Charles Hermite, est définie de la manière suivante pour tout entier n > 0. Étant donné un réseau L, on note λ1(L) la norme d'un plus court vecteur non nul de L. Alors √γn est le maximum de λ1(L) sur tous les réseaux L de l'espace euclidien Rn de volume fondamental égal à 1.
La constante d'Hermite est liée à la densité maximale Δn d'un empilement régulier d'hypersphères par la relation γn = 4 (Δn/Vn)2/n où Vn est le volume d'une hypersphère de dimension n et de rayon 1.
La suite des γn est d'ordre de croissance linéaire, mais on ne sait pas si s'est une suite croissante.
Valeurs connues
La valeur exacte de γn est connue seulement pour n≤8 et n = 24[1].
n 1 2 3 4 5 6 7 8 24 
1 4/3 2 4 8 64/3 64 256 424 La valeur
est atteinte par le réseau des entiers d'Eisenstein. La valeur γ24 = 4 est atteinte par le réseau de Leech.Encadrement
Pour les autres dimensions, on sait encadrer la constante γn en fonction du volume d'une hypersphère en utilisant le théorème de Minkowski[2] :
.Ceci implique que
pour n assez grand et 
pour tout n.Par ailleurs, on a la majoration asymptotique[3]
.Références
- suite A007361 de l’OEIS
- John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer-Verlag 1973 (p. 31 et p. 17)
- (en) John Horton Conway et Neil Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups (Second Edition), Springer-Verlag, 1993 (ISBN 0-387-97912-3), p. 20
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Hermite constant » (voir la liste des auteurs)
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