- Clôture parfaite
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En mathématiques et plus précisément dans la théorie des extensions de corps, la clôture parfaite d'un corps est grosso modo une extension algébrique parfaite minimale.
Sommaire
Définition
Soit K un corps (commutatif). Une clôture parfaite L de K est une extension algébrique de K telle que
- L est un corps parfait et
- pour toute extension F / K avec F parfait, il existe un unique homomorphisme de K-extensions
.
Notons que si une clôture parfaite existe, elle sera unique à isomorphisme unique près. Si K est lui-même parfait, alors il est sa propre clôture parfaite.
Existence
Une clôture parfaite de K existe et est unique à isomorphisme unique près. En effet, on peut supposer K non-parfait (donc de caractéristique p > 0). Fixons une clôture algébrique Ω de K. Soit L l'ensemble des éléments radiciels de Ω sur K. On sait que c'est une extension algébrique radicielle de K. Montrons que c'est une clôture parfaite.
- D'abord L est parfait: tout élément x de L est une puissance yp avec
. Il suit que y est radiciel sur K puisque x l'est. Donc 
. Donc L est parfait.
- Soit F / K est une extension avec F un corps parfait. Pour tout
, il existe 
tel que 
. Comme F est parfait, il existe un unique 
tel que 
. On vérifie aisément que la correspondance 
établit un homomorphisme de K-extensions . De plus pour tout homomorphisme 
de K-extensions, 
, donc ϕ(a) = b. Ce qui prouve l'unicité.
La clôture parfaite est aussi appelée clôture radicielle, ce qui est cohérent avec les propriétés ci-dessus. Elle est notée
.Critère de séparabilité de MacLane
Soit K un corps de caractéristique p > 0. Soit
sa clôture parfaite dans une clôture algébrique Ω de K. Alors une sous-extension E de Ω / K est séparable si et seulement elle est linéairement disjointe avec sur K.Références bibliographiques
N. Bourbaki: Algèbre, (Chapitre V), Masson, 1981.
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