- Algèbre d'un monoïde
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Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).En algèbre, plus précisément en théorie des anneaux, l'algèbre d'un monoïde M sur un anneau commutatif A est la A-algèbre formée des combinaisons linéaires d'éléments de M, à coefficients dans A. Cette construction généralise celle des anneaux de polynômes et intervient, lorsque M est un groupe, dans la théorie de ses représentations. Lorsque A est un anneau non commutatif, la même construction ne fournit pas une A-algèbre mais seulement un anneau.
Sommaire
Définition
Soient A un anneau commutatif (unifère) et M un monoïde. On note AM le A-module des applications de M dans A. La A-algèbre de M, notée A[M], est le sous-module de AM constitué des applications de support fini (c'est-à-dire nulles sauf sur une partie finie de M), muni de la multiplication définie par :
Si l'on identifie chaque élément m de M avec la fonction caractéristique du singleton {m}, M s'identifie à une partie de A[M] et A[M] est le A-module libre de base M, muni du produit qui étend (par bilinéarité) la loi de monoïde de M.
Si M est un groupe, A[M] est appelée l'algèbre du groupe M.
Exemple
Pour tout ensemble I, l'algèbre de polynômes
![A[(X_i)_{i\in I}]](e/95e30e6512d9deeb236755c2cbf1a948.png)
est la A-algèbre du monoïde commutatif libre sur I, c'est-à-dire du monoïde 
des applications de support fini de I dans 
(muni de l'addition naturelle).Propriété universelle
A posteriori, A[M] peut être caractérisée (à isomorphisme près) par une propriété universelle : pour A fixé, le foncteur qui à M associe A[M] (de la catégorie des monoïdes vers celle des A-algèbres) est l'adjoint à gauche du foncteur d'oubli. A[M] est donc appelée la A-algèbre libre sur le monoïde M.
Cas où l'anneau n'est pas commutatif
Si A n'est pas commutatif, A[M] n'est plus une algèbre sur A mais sur le centre de A. C'est donc en particulier un anneau.
C'est également un A-bimodule.
Références
- Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique : Algèbre, chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9)
- Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
Articles connexes
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