- Arc cosinus
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En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul et l'angle plat.
La fonction qui associe à tout nombre réel entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est en général notée[1] Arc cos en notation française (bien que la norme ISO 31-11 recommande la notation arccos), et cos−1, parfois acos ou acs, en notation anglo-saxonne. Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle [0 ; π].
Sommaire
Dérivée
Comme dérivée d'une fonction réciproque, Arccos est dérivable sur ]-1,1[ et vérifie
Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque.
Forme intégrale indéfinie
Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :
Primitives
Les primitives de l'arc cosinus s'obtiennent par intégration par parties
Relation entre Arc cosinus et Arc sinus
- Preuve par la dérivée
Soit f la fonction qui à x dans [-1,1] associe Arccos(x) + Arcsin(x). Sa dérivée est nulle :
Donc f est constante sur son ensemble de définition. Donc :
Preuve trigonométriquePour tout x dans [-1,1], on pose .
On calcule .
Or donc .
Donc α = Arcsin(x).
Donc
Forme logarithmique
On peut exprimer la fonction arc cosinus avec un logarithme complexe :
Voir aussi
Notes et références
- « Exponentielle & logarithme », § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
Catégories :- Trigonométrie
- Fonction remarquable
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