Équations de Cauchy-Riemann

Pour les articles homonymes, voir Cauchy et Riemann.

Les équations de Cauchy-Riemann en analyse complexe, ainsi nommées en l'honneur d'Augustin Cauchy et Bernhard Riemann, sont deux équations aux dérivées partielles exprimant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction (d'une variable complexe, à valeurs complexes) différentiable au sens réel en un point soit différentiable au sens complexe en ce point.

En d'autres termes, ce sont les conditions à ajouter à la différentiabilité au sens réel pour obtenir la différentiabilité au sens complexe.

Lorsque la fonction est différentiable au sens réel en tout point d'un ouvert, ces équations expriment une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit holomorphe sur cet ouvert.

On considère une fonction $\ f : U \to \mathbb{{C}}$ d'une variable complexe, définie sur un ouvert U du plan complexe $\mathbb{{C}}$ . On utilise ici les notations suivantes :

la variable complexe $\ z$ est notée $\ x + i\, y$ , où x, y sont réels
les parties réelle et imaginaire de $\ f(z) = f(x + i\, y)$ sont notées respectivement $\ P(x, y)$ et $\ Q(x, y)$ , c'est-à-dire : $\ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y)$ , où $\ P,\, Q$ sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Sommaire

1 Fonctions C-différentiables d'une variable complexe
- 1.1 Définition
- 1.2 Un cas important
2 Caractérisation des fonctions C-différentiables en un point
- 2.1 Un cas important
- 2.2 Exemples
3 Référence

Fonctions $C$ -différentiables d'une variable complexe

Définition

On dit que la fonction $f : U \to \mathbb{C}$ est différentiable au sens complexe, ou $\mathbb{C}$ -différentiable (on dit encore dérivable) en un point $\ z_0 \in U$ si la limite (finie) $f'(z_0) = \lim_{h \to 0,\, h\, \in\, \mathbb{C}^*} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$ existe ; on l'appelle dérivée de f en $\ z_0$ .

Il est important de remarquer que la condition de $\mathbb{{C}}$ -différentiabilité pour les fonctions de variable complexe est bien plus contraignante que la condition analogue pour les fonctions de variable réelle. La différence est la suivante :

dans $\mathbb{R}$ , il y a essentiellement deux manières de s'approcher d'un point : à droite, ou à gauche. Une fonction de variable réelle est dérivable en un point si et seulement si le "taux d'accroissement" admet en ce point une limite à droite et une limite à gauche ayant la même valeur (finie)
dans $\mathbb{C}$ , il y a une infinité de manières de s'approcher d'un point ; chacune d'elles doit donner lieu à une limite (finie) du "taux d'accroissement", ces limites étant de plus toutes égales.

Un cas important

On dit qu'une fonction est holomorphe sur un ouvert de $\mathbb{C}$ si elle est $\mathbb{C}$ -différentiable en tout point de cet ouvert.

Caractérisation des fonctions $C$ -différentiables en un point

Théorème —

Pour que la fonction f soit -différentiable en un point (où sont réels), il faut et il suffit :
- qu'elle soit différentiable au sens réel en $\ z_0$
- et que, de plus, elle vérifie les équations de Cauchy-Riemann en ce point. Ces équations peuvent s'écrire sous les formes équivalentes suivantes :
  - $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$
  - $\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$ et $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$
  - $\overline\partial f(z_0) = 0$ , où l'opérateur différentiel $\overline\partial$ est, par définition, égal à $\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+i\frac\partial{\partial y}\right)$ .
Dans ce cas :
- la différentielle de $\ f$ au point $\ z_0$ est l'application $\ df(z_0) : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, h \mapsto f'(z_0)\, h$
- $\ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \partial f(z_0)$ où l'opérateur différentiel $\partial$ est, par définition, égal à $\frac12\left(\frac\partial{\partial x}-i\frac\partial{\partial y}\right)$ .

Démonstration du théorème

On garde les notations précédentes ; en particulier, on note r un réel tel que $\ r > 0$ et $\ B(z_0,\, r) \subset U$ , et h un nombre complexe tel que $\ |h| < r$ .

On suppose que soit -différentiable en : alors lorsque (on note la dérivée ).
- On définit (fonction d'une variable complexe):
  - $\ \epsilon(0) = 0$
  - $\epsilon(h) = \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - A$ si $h \neq 0$ (*). Alors (par définition de A): $\epsilon(h) \to 0$ lorsque $h \to 0$
  - (*) peut s'écrire : $f(z_0+h) = f(z_0) + A\, h + h\, \epsilon(h)$ (pour $\ h \neq 0$ , et aussi pour $\ h = 0$ ),
  - ou encore : $f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h)$ , où $\ L(h) = A\, h$ (**)
- Il est clair que l'application est -linéaire (et même -linéaire, propriété plus forte). Par conséquent :
  - $\ f$ est $\mathbb{R}$ -différentiable en $\ z_0$
  - $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1) = A$ , $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i) = A\, i$ , ou : $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ .
Réciproque : on suppose que soit -différentiable en et que , autrement dit : , où (contrairement à ce qu'on affirme souvent, on n'utilise ici aucune hypothèse de continuité des dérivées partielles : l'hypothèse précédente concerne un seul point ; il se pourrait que ne soit -différentiable qu'en ce point).
- Par hypothèse, en notant L la -différentielle de en , on peut écrire :
  - $f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h)$ , où $\epsilon(h) \to 0$ lorsque $h \to 0$
  - Si $\ h = u + i\, v$ (u, v réels), alors, par $\mathbb{R}$ -linéarité de L, $\, L(h) = u\, L(1)+ v\, L(i) = u\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)+ v\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = u\, A + v\, i\, A = A\, (u + i\, v) = A\, h$
  - Ainsi : $f(z_0+h) = f(z_0) + A\, h + h\, \epsilon(h)$ , et $\epsilon(h) \to 0$ lorsque $h \to 0$
  - Si $h \neq 0$ , on en déduit que : $\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = A + \epsilon(h) \to A$ lorsque $h \to 0$ . L'existence de cette limite établit que $\ f$ est $\mathbb{C}$ -différentiable en $\ z_0$ (c'est-à-dire : $\ f'(z_0)$ existe), et que $\ f'(z_0) = A \left(= \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)\right)$ .
  - Ceci prouve aussi que lorsque est -différentiable en :
    - sa différentielle est l'application $\ L : \mathbb{C} \to \mathbb{C},\, h \mapsto A\, h = f'(z_0)\, h$ .
    - $\ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \partial f(z_0)$ .

Un cas important

La caractérisation suivante des fonctions holomorphes est une conséquence immédiate du théorème précédent, appliqué en chaque point.

Théorème : une fonction $\ f : U \to \mathbb{C}$ est holomorphe sur l'ouvert U de $\mathbb{C}$ si et seulement si :

elle est $\mathbb{R}$ -différentiable en tout point de U,
et elle vérifie les équations de Cauchy-Riemann en tout point de U

Remarque sur la continuité des dérivées partielles : on peut montrer (c'est un résultat important de la théorie de Cauchy) que toute fonction holomorphe sur un ouvert de $\mathbb{C}$ y est analytique : cela signifie qu'au voisinage de chaque point, elle est développable en série entière ; donc, toute fonction holomorphe est indéfiniment dérivable, et a fortiori elle admet des dérivées partielles continues sur l'ouvert.

Exemples

La fonction est de classe sur , donc elle y est -différentiable ; mais elle n'est -différentiable en aucun point parce qu'elle ne vérifie nulle part les équations de Cauchy-Riemann. En effet, comme :
- $\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 1$ et $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -i$
- ainsi, pour tout $\ z \in \mathbb{C}$ , $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) \neq i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z)$ .
La fonction $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto |z|^2$ est de classe $\ C^1$ sur $\mathbb{C}$ , donc elle y est $\mathbb{R}$ -différentiable ; elle est $\mathbb{C}$ -différentiable en 0 et seulement en ce point (elle n'est holomorphe sur aucun ouvert, son ensemble $\ \{0\}$ de $\mathbb{C}$ -différentiabilité étant d'intérieur vide).
La fonction est holomorphe sur et pour tout , . En effet, si et , lorsque . On a , donc :
- $\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 2\, x + 2\, i\, y = 2\, z$
- $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -2\, y + 2\, i\, x = 2\, i\, z = i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z)$ (équations de Cauchy-Riemann au point z)
Le caractère contraignant de la condition d'holomorphie est particulièrement saisissant quand on applique les conditions de Cauchy-Riemann à une fonction à valeurs réelles définie sur un ouvert de $\mathbb{C}$ : les 2 dérivées partielles par rapport à x et à y doivent alors être nulles et la fonction doit être localement constante ! En d'autres termes, une fonction holomorphe à valeurs réelles sur un ouvert connexe de $\mathbb{C}$ se réduit nécessairement à une constante.

Par exemple, la fonction argument de z (réelle et non constante) n'est pas holomorphe. On vérifie d'ailleurs facilement que les équations de Cauchy-Riemann ne sont pas satisfaites, car ses dérivées partielles sont celles de arctan (y/x). Il en est évidemment de même de la fonction module de z (réelle et non constante).

Référence

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

v · Augustin Louis Cauchy
Règle de Cauchy • Produit de Cauchy • Critère de Cauchy • Théorème de Cauchy-Lipschitz • Équations de Cauchy-Riemann • Inégalité de Cauchy • Théorème de Cauchy • Loi de Cauchy • Formule de Binet-Cauchy
Théorème de la moyenne de Cauchy • Théorème de Cauchy-Kovalevskaïa • Théorème intégral de Cauchy • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Formule intégrale de Cauchy

Portail de l'analyse

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Équations de Cauchy-Riemann de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

Equations de Cauchy-Riemann — Équations de Cauchy Riemann Pour les articles homonymes, voir Cauchy et Riemann. Les équations de Cauchy Riemann en analyse complexe, ainsi nommées en l honneur d Augustin Cauchy et Bernhard Riemann, sont deux équations aux dérivées partielles… … Wikipédia en Français
Équations de cauchy-riemann — Pour les articles homonymes, voir Cauchy et Riemann. Les équations de Cauchy Riemann en analyse complexe, ainsi nommées en l honneur d Augustin Cauchy et Bernhard Riemann, sont deux équations aux dérivées partielles exprimant une condition… … Wikipédia en Français
Cauchy-Riemann equations — In mathematics, the Cauchy Riemann differential equations in complex analysis, named after Augustin Cauchy and Bernhard Riemann, are two partial differential equations which provide a necessary and sufficient condition for a differentiable… … Wikipedia
Cauchy-Riemann equations — /koh shee ree mahn, koh shee /, Math. equations relating the partial derivatives of the real and imaginary parts of an analytic function of a complex variable, as f(z) = u(x,y) + iv(x,y), by du/ dx = dv/ dy and du/ dy = dv/ dx. [named after A. L … Universalium
Cauchy-Riemann equations — /koh shee ree mahn, koh shee /, Math. equations relating the partial derivatives of the real and imaginary parts of an analytic function of a complex variable, as f(z) = u(x,y) + iv(x,y), by du/ dx = dv/ dy and du/ … Useful english dictionary
Cauchy — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Cette page d’homonymie répertorie des personnes (réelles ou fictives) partageant un même patronyme. Patronyme Augustin Louis Cauchy (1789 1857),… … Wikipédia en Français
Cauchy's integral formula — In mathematics, Cauchy s integral formula, named after Augustin Louis Cauchy, is a central statement in complex analysis. It expresses the fact that a holomorphic function defined on a disk is completely determined by its values on the boundary… … Wikipedia
Riemann mapping theorem — In complex analysis, the Riemann mapping theorem states that if U is a simply connected open subset of the complex number plane Bbb C which is not all of Bbb C, then there exists a biholomorphic (bijective and holomorphic) mapping f, from U, onto … Wikipedia
Cauchy's integral theorem — In mathematics, the Cauchy integral theorem in complex analysis, named after Augustin Louis Cauchy, is an important statement about line integrals for holomorphic functions in the complex plane. Essentially, it says that if two different paths… … Wikipedia
Augustin-Louis Cauchy — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Augustin Louis Cauchy … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Équations de Cauchy-Riemann

Sommaire