Équation de droite

Équation de droite

Sommaire

Définition

L'équation d'une droite D est une (ou plusieurs) équation(s) du premier degré à plusieurs inconnues (des coordonnées), et dont l'ensemble des solutions forment la droite D.

Dans le plan

Dans le plan, l'ensemble des points M\left(x,y\right) formant D peut se représenter par une équation de la forme :

ax + by + c = 0

où a, b et c sont des constantes telles que (a,b)≠(0,0). Dans ce cas,

D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ ax + by + c = 0 \}

Dans l'espace

Dans un espace à trois dimensions en coordonnées cartésiennes, l'ensemble des points M\left(x,y,z\right) formant D peut se représenter par un système de deux équations de la forme : \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

où a,b,c,d,a',b',c',d' sont des constantes telles que les triplets (a,b,c) et (a',b',c') soient non colinéaires, autrement dit non proportionnels (en particulier, aucun des deux triplets ne doit être nul).

ax + by + cz + d = 0 et a'x + b'y + c'z + d' = 0 sont les équations de deux plans non parallèles.

Une autre possibilité est d'utiliser une équation paramétrique de la forme: \left\{\begin{matrix} x = at + x_\mathrm{A} \\ y = bt + y_\mathrm{A} \\ z = ct + z_\mathrm{A} \end{matrix}\right.\quad t \in \mathbb R

où \vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} est un vecteur directeur et A\left(x_\mathrm{A},y_\mathrm{A},z_\mathrm{A}\right) un point de la droite.

Cas particuliers

Dans le plan, une droite D parallèle à l'axe des abscisses (horizontale) a une équation de la forme:

y = y0. avec y_0 \in \mathbb{R}

De même, une droite D parallèle à l'axe des ordonnées (verticale) a une équation de la forme:

x = x0. avec x_0 \in \mathbb{R}

Recherche d'une équation de droite dans le plan

1 ) Caractérisation d'une équation de droite : Soit l'équation à deux inconnues y = 3x - 2. Recherchez 5 couples solutions de cette équation. Représentez dans un repère les points associés.

Recherchons des solutions.

Il faut choisir une valeur pour x puis calculons la valeur de y correspondante. Par exemple : Si x = 0 alors y = 3 x 0 - 2 ; y = -2 Un couple solution est (0 ; -2)

Si x = 1 alors y = 3 x 1 - 2 ; y = 1 (1 ; 1) est solution de l'équation

Si x = 2 alors y = 3 x 2 - 2 ; y = 4 Je trouve la solution (2 ; 4).

Si x = -1 alors y = 3 x (-1) - 2 ; y = -5 Un couple solution est (-1 ; -5)

si x = 1/2 alors y = 3 x 1/2 - 2 = 3/2 - 4/2 ; y = -1/2. Un couple solution est (1/2 ; -1/2)


Représentons dans un repère (O,I,J) ces solutions sur un graphique en associant à chacun de ces couples un point qui a les mêmes coordonnées.

Tous les points sont alignés.

L'équation à deux inconnues y = 3x - 2 est une équation de droite.

Le nombre 3 représente la pente de la droite. C'est le coefficient directeur.

Le nombre -2 représente l'ordonnée du point d'abscisse 0, intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. C'est l'ordonnée à l'origine.

Par résolution d'un système d'équations

Soient deux points non confondus du plan, M\left(u,v\right) et M'\left(u',v'\right).

Si la droite passant par ces deux points n'est pas verticale (u\not=u'), son équation est y = ax + b.

Pour trouver son équation, il faut résoudre le système : \begin{cases}v=au+b \\v'=au'+b\end{cases}

On a a=\cfrac{v'-v}{u'-u} (coefficient directeur).

Pour trouver la constante b (ordonnée à l'origine), il suffit de remplacer les variables x et y respectivement par u et v (ou u' et v').

On a alors v=a\times u+b\, \Leftrightarrow \, b=v-a\times u.

L'équation de la droite est alors au final \left(MM'\right):y=\cfrac{v'-v}{u'-u}x+v-a\times u

(Dans le cas particulier v' = v, on trouve ainsi la droite horizontale d'équation y = v.)

Ou plus généralement, on peut vérifier que la droite d'équation ax + by + c = 0 avec \begin{cases}a=v'-v \\b=u-u' \\c=-(bv+au) \end{cases}

est une droite passant par les points M\left(u,v\right) et M'\left(u',v'\right) quelles que soient leurs coordonnées.

Par colinéarité de deux vecteurs

Dans le plan, deux points distincts A et B déterminent une droite \left(AB\right).

M\left(x,y\right) est un point de cette droite si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM} sont colinéaires (on obtiendrait la même équation finale en intervertissant les rôles de A et B).

On obtient l'équation de la droite en écrivant

x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AM}}-y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AM}}=0~,

c'est-à-dire

\left(x_B-x_A\right)\left(y-y_A\right)-\left(y_B-y_A\right)\left(x-x_A\right)=0~.

Finalement, l'équation de la droite \left(AB\right) est : \left(y_B-y_A\right)x+(x_A-x_B)y+x_By_A-x_Ay_B=0~.

Lorsque x_B\ne x_A, on aboutit à la même équation en raisonnant sur le coefficient directeur et en écrivant :

y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)~.

équivalent à :

y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}x+(y_A-\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}x_A)~.

Lorsque xB = xA, la droite a simplement pour équation x = xA.

Exemple

Dans le plan, la droite passant par les points A( − 1;4) et B(1;0), a pour équation :

y-4=\frac{0-4}{1-(-1)}(x-(-1))

soit, après simplification :

2x+y-2=0~.

Par orthogonalité de deux vecteurs

Soient A un point du plan et \overrightarrow{N} un vecteur non nul.

La droite passant par A de vecteur normal \overrightarrow{N} est l'ensemble des points B du plan tel que \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{N}=0.

Remarques

  • Une droite peut avoir une infinité d'équations qui la représentent.
  • Dans le plan, toute droite admet une équation (dite cartésienne) de la forme : ax + by + c = 0.

Article connexe

Propriétés métriques des droites et plans


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Équation de droite de Wikipédia en français (auteurs)

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