Equation normale
- Equation normale
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Équation normale
Droite du plan
- Dans un plan affine euclidien, l'équation d'une droite affine ax + by + c = 0 est normale si et seulement si a2 + b2 = 1. a et b sont alors les cosinus directeurs de la normale N à la droite passant par l'origine, c'est-à-dire que a peut s'écrire cos(α) où α est l'angle entre l'axe x et la normale, et que b peut s'écrire cos(β) où β est l'angle entre l'axe y et la normale. En deux dimensions (plan affine), β = pi / 2 − α, i.e. cos(β) = sin(α) et sin(β) = cos(α), donc effectivement cos(α)2 + cos(β)2 = 1 mais lorsqu'on monte dans les dimensions supérieures, il n'existe plus de relations triviale entre les cosinus directeurs, sinon que la somme de leurs carrés doit être égale à 1.
- Une droite du plan admet exactement deux équations normales qui correspondent aux deux choix possibles de vecteur normal normé.
- L'avantage de l'équation normale est que si M est un point de coordonnées (x,y), la distance du point M à la droite est égale à | ax + by + c | .
Plan de l'espace
- Dans un espace affine euclidien de dimension 3, l'équation d'un plan affine ax + by + cz + d = 0 est normale si et seulement si a2 + b2 + c2 = 1.
- Un plan de l'espace admet exactement deux équations normales qui correspondent aux deux choix possibles de vecteur normal normé.
- L'avantage de l'équation normale est que si M est un point de coordonnées (x,y), la distance du point M au plan est égale à | ax + by + cz + d | .
- On peut généraliser à un hyperplan.
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