- Équation d'état de Birch-Murnaghan
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L'équation d'état de Birch-Murnaghan est une relation qui lie le volume d'un corps et la pression à laquelle il est soumis. C'est une des nombreuses équations d'état qui ont été utilisées en sciences de la Terre pour modéliser le comportement de la matière dans les conditions de hautes pressions qui règnent à l'intérieur du globe terrestre. Cette équation porte le nom de Albert Francis Birch et de Francis Dominic Murnaghan[1]. Le premier a proposé cette équation dans une publication en 1947, en se basant sur les travaux du second.L'équation de Birch-Murnaghan est déduite, moyennant certaines hypothèses, des équations de la thermodynamique et de la mécanique des milieux continus. Elle fait intervenir deux paramètres ajustables qu'on identifie au module d'incompressibilité K0 et à sa dérivée première par rapport à la pression, K'0, tous deux pris à pression ambiante. En général, on détermine ces deux coefficients par une régression sur les valeurs du volume V en fonction de la pression P obtenues expérimentalement, le plus souvent par diffraction des rayons X.
Sommaire
Contexte général
L'étude de la structure interne de la terre passe par la connaissance des propriétés mécaniques des constituants des couches internes de la planète. On parle alors de conditions extrêmes : les pressions s'y comptent en centaines de gigapascals et les températures en milliers de degrés. L'étude des propriétés de la matière dans ces conditions peut se faire de manière expérimentale grâce à des dispositifs comme la cellule à enclumes de diamant pour les pressions statiques, ou en soumettant la matière à des ondes de choc. Elle a également donné lieu à des travaux théoriques visant à déterminer des équations d'état, c'est-à-dire des relations liant les différents paramètres qui définissent dans ce cas l'état de la matière : le volume (ou la densité), la température et la pression.
On peut distinguer deux approches :
- les équations d'état dérivées de potentiels interatomiques, ou éventuellement de calculs ab initio ;
- les équations d'état dérivées des relations générales de la mécanique et de la thermodynamique. L'équation de Birch-Murnaghan appartient à cette seconde catégorie.
Plusieurs dizaines d'équations ont ainsi été proposées par différents auteurs[2]. Ce sont des relations empiriques, dont la qualité et la pertinence dépendent de l'usage qui en est fait. On peut en juger selon différents critères : le nombre de paramètres indépendants qu'elles font intervenir, la signification physique qu'il est possible d'attribuer à ces paramètres, la qualité des affinements qu'elles permettent sur les données expérimentales, la cohérence des hypothèses théoriques qui les sous-tendent, leur capacité à extrapoler le comportement des solides aux fortes compressions[3].
Expressions de l'équation d'état
Cette équation fait intervenir trois paramètres, tous trois pris à température constante : le volume à pression nulle V0, le module de compressibilité noté ici K0 et sa dérivée première par rapport à la pression K0'. Ces deux derniers sont donnés respectivement par
et
Sa démonstration repose sur un développement en série de l'énergie libre en fonction de la mesure d'Euler de la déformation notée f et donnée par
On utilise couramment l'équation au troisième ordre qui s'écrit
Au second ordre, on a K0' = 4 et l'expression précédente est amputée de son dernier facteur.
Exemples d'utilisation
Cette relation peut être utilisée pour estimer les coefficients K0 et K'0 à partir de mesures du volume en fonction de la pression, notamment par diffraction des rayons X. Le tableau suivant donne quelques exemples de matériaux étudiés de cette façon à température ambiante.
Composé V0 K0 (GPa) K'0 Andalousite[4] 144,2(7) 6,8(2) Sillimanite[4] 164(1) 5,0(3) MgGeO3[5] 82,2(3) 229(3) 3,7 Notes et références
- The national academy press BIOGRAPHICAL MEMOIRS
- (en) P.T. Wedepohl, « Comparison of a simple two-parameter equation of state with the Murnaghan equation », dans Solid State Communications, vol. 10, 1972, p. 947-951 [texte intégral]
- (en) F.D. Stacey, B.J. Brennan et R.D. Irvine, « Finite strain theories and comparison with seismological data », dans Surveys in Geophysics, vol. 4, 1981, p. 189-232 [texte intégral]
- (en) J. B. Burt, N. L. Ross, R. J. Angel and Mario Koch, « Equations of state and structures of andalusite to 9.8 GPa and sillimanite to 8.5 GPa », dans American mineralogist, vol. 91, 2006, p. 319
- (en) C. E. Runge, A. Kubo, B. Kiefer, Y. Meng, V. B. Prakapenka, G. Shell, R. J. Cava, T. S. Duffy, « Equation of state of MgGeO3 perovskite to 65 GPa : comparison with the post-perovskite phase », dans Physics and chemistry of minerals, vol. 33, 2006, p. 699-709
Sources
- (en) F. Birch, « Finite elastic strains of cubic crystals », dans Physical Review, vol. 71, 1947, p. 809 [texte intégral]
![f = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}} - 1\right]](c/25c2fab70d6ec45e2d057b26d45a33a1.png)
![P = \frac{3}{2} K_0 \left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{7}{3}} - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]\left[1 + \frac{3}{4}\left(K_0' - 4\right)\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right]\right]](c/57ca051d745879641ffb33ebb1a1335c.png)
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